Yo le he echado unas cuantas horas a este problema. Hay gente que hace sudokus, y yo repaso las conjeturas de Goldbach y Collatz (a esta última siempre la he llamado Conjetura de Guzmán, pues fue en un libro de miguel de Guzmán donde aprendí sobre su existencia). También tengo unos cuantos grafiquillos, aunque los tuyos son más autoexplicativos, Heimy:
![$m[1]](http://personales.ya.com/remocpi/conjetura-de-guzman-n-un-millon-2.jpg)
He intentado varios métodos de aproximación, y he llegado a algunos resultados parciales. Empecé intentando demostrar que todo número llega en algún momento de su trayectoria a algún número más bajo que él. De este modo, nunca podría existir "el primer número que no cumple el teorema". Y he demostrado que hay números que crecen n veces (*3+1, /2, *3+1, /2... y así, sin dividir dos veces seguidas entre dos) antes de empezar a decrecer, con n arbitrario. Por ejemplo, los números de la forma 2^n-1 tienen que ser multiplicados por 3 y divididos por 2 n veces antes de que puedas dividirlos dos veces seguidas entre dos.
Si hay algún número que es el primero en no pasar por un número menor en su trayectoria, debe ser de la forma 4n+3, pues los números de la forma 4n+1 siguen la siguiente trayectoria: 4n+1 (impar)-->12n+4-->6n+2-->3n+1, que ya es menor que el original. Por supuesto, los número pares empiezan siendo divididos entre 2, por lo que ya pasan por un número menor en su trayectoria. Dentro de los 4n+3 están los 8n+3 y 8n+7, los primeros acaban descendiendo, pero los segundos se subdividen en 16n+7 y 16n+15...
El enfoque que estoy usando últimamente (necesito estar bastante emparanoiado para meterme con este problema) es demostrar que la aplicación compuesta n veces de las inversas de las funciones f(x)=3x+1 y g(x)=x/2 cubre todos los reales (de este modo, todo número a partir del 1 para arriba podría ser alcanzado aplicando estas funciones=> estaría en la trayectoria del 1=> cumpliría el teorema). El problema principal es tratar con números enteros, lo hace todo mucho más difícil. Las ecuaciones de segundo grado están tiradas, pero las ecuaciones diofánticas de segundo grado se las traen.
En fin, que habéis dado con uno de mis temas favoritos. Vaya chapa. Sorry.