A cuenta de la pregunta de Kramer en el CPIvial (la 109), me acordé de un problema del cual desconozco la solución; o mejor dicho, conozco dos soluciones diferentes, y no se distinguir si una está bien o está mal.
El problema es el siguiente:
Halla la probabilidad de que al trazar un recta que corte por una circunferencia, el segmento que se forma en el interior de la circunferencia sea mayor que el lado del triángulo equilatero inscrito.
Estas son las dos soluciones que conozco:
Solución 1: 1/3
Razonamiento: La recta cortará por un punto cualquiera de la circunferencia, y tendrá una dirección aleatoria. Si apoyamos el triángulo equilatero sobre el punto que corta, vemos claramente que si la recta pasa por el interior del triángulo, el corte será mayor que el lado, y si pasa por el exterior, será menor. El ángulo del triángulo es 60º, y las posibles direcciones que puede tomar son los 180º. Por lo tanto la probabilidad es 1/3. Dibujito:
![$m[1]](http://img.photobucket.com/albums/v202/presi_asp/triangulos2.png)
Solución 2: 1/2 (que me convence más ésta, intuitivamente)
Razonamiento: La recta cortará en una determinada dirección de la circunferencia. Si corta el diametro perpendicular entre los dos triángulos dibujados, el corte será mayor que el lado del triángulo equilatero, y si no, no. Como el trozo de diametro que está entre los dos triángulos es la mitad que el original, y la recta aleatoria puede cortar por donde quiera a este diametro, la posibilidad es 1/2.
![$m[1]](http://img.photobucket.com/albums/v202/presi_asp/Triangulos1.png)
Supongo que alguna de las dos soluciones tiene truco, si alguien sabe cual es, por favor que me lo digo (llevo mucho tiempo con este problema). Si me he explicado mal en alguna de ellas, gustosamente la explico más detalladamente.