CPI (Curioso pero inútil)

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Quedá CPI 3.14: Málaga. Última llamada.

Estimados lectores, ¡se nos echa encima la quedá malagueña! El comité local de bienvenida ha hecho un trabajo espectacular, y les doy las gracias por ello. Les pongo toda la información de que disponemos.

En el Wiki de CPI hay un montón de información sobre asistentes y actividades propuestas.

En el Foro CPI hay unas cuantas cuestiones logísticas.

Y en un alarde de generosidad, El Gato cuántico se ha currado este espectacular mapa de la zona y sus actividades.

La Quedá queda oficialmente convocada el día 21 de abril, a las 21:00, en la plaza de la Merced. Nos iremos a cenar al Pimpi, así que si alguien NO va a cenar, que lo diga para que nuestro interfaz malagueño con el Pimpi pueda organizar los números finales de CPIeros que cenan. ¡Anímense, estimados lectores! Apúntense en el Wiki. No se arrepentirán.

¡Nos vemos en Málaga!

Consultorio CPI: Multas y teoremas

[¡Vaya semanita llevo, estimados lectores! Si les parece mucho trabajo mudarse de casa, imagínense trasladar un laboratorio completo. Pero seguimos en la brecha.]

Ramón nos pregunta:

Hola, enhorabuena por tu blog.

He tenido varias veces la misma discusión con mis amigos y es que alguno dice que cuando te pilla el radar de velocidad de la policía y te sacan la foto, notas un fogonazo por el flash de la cámara. ¿Es eso cierto? ¿Podrías explicar como funciona?

Gracias.

La respuesta concreta, estimado Ramón, es sí y no :). Llegaremos a ello, tal como nos gusta hacer, tras un breve rodeo por los sistemas de medición de velocidad por radar (y por otros medios).

Cuando la policía (o quien sea) quiere averiguar la velocidad de un coche, normalmente hay dos métodos principales y uno matemático para hacerlo:

1) Por radar (RAdio Detection And Ranging) y efecto Doppler. El efecto Doppler, como hemos visto alguna vez por aquí (I, II, III), consiste en que las ondas emitidas o reflejadas por un objeto en movimiento tienen distinta longitud de onda que las inicialmente emitidas. O sea, que si yo apunto a un coche con una fuente que emite ondas a una frecuencia f y el coche viene hacia mí, las ondas rebotadas que yo vea tendrán una frecuencia mayor que f. En la siguiente imagen podemos verlo, no con ondas reflejadas sino emitidas, pero el principio básico es el mismo. En la dirección del movimiento, las ondas están más apelotonadas; es decir, que la frecuenciqa es mayor. En dirección opuesta al movimiento, las ondas están más espaciadas: la frecuencia es menor.

Como la fórmula del efecto Doppler es bien conocida, puedo calcular la velocidad del coche que se acerca o se aleja con bastante precisión. Normalmente, las medidas de velocidad en carretera tienen un error del 10%, pero eso es a efectos legales. Su error real suele ser bastante menor.

2) Mediante Lidar (LIght Detection And Ranging). El Lidar es lo mismo que un radar, pero en vez de usar microondas usa luz infrarroja. Un lidar de una patrulla de tráfico funciona, sucintamente, de la siguiente manera: Apunto a un coche y le tiro un pulso de luz (infrarroja, recordemos, o sea que no la podemos ver). Y mido el tiempo que tarda el pulso en ir y volver, con lo que sé la distancia que me separa del coche, porque sé a qé velocidad va la luz. Al cabo de dos décimas de segundo, por ejemplo, le vuelvo a tirar otro pulso. Tirar un pulso es encender una luz infrarroja, por cierto, nada del otro mundo. Vuelvo a medir el tiempo que tarda la luz en ir y volver al coche. Vuelvo a saber la distancia a la que está. Hago la resta entre las dos distancias y sé cuánto ha avanzado en esas dos décimas de segundo. Y como sé el tiempo que ha pasado entre mis dos medidas y la distancia a la que está el coche en las dos medidas, puedo hacer la división, velocidad igual a espacio partido por tiempo, y me sale la velocidad del coche.

3) Una tercera manera, que me encanta aunque no se aplica todavía porque podría haber lagunas legales (sin embargo, hay sistemas en pruebas, por ejemplo, en la carretera de Burgos, en Madrid), es multar a la gente mediante el teorema de Lagrange. Tal cual lo oyen, estimados lectores, ya me lo estoy imaginando, “me multaron por culpa del cálculo diferencial. Odio a Newton. Ya le podía haber caído una losa de hormigón y no una manzana en la cabeza”.

El teorema de Lagrange, a veces llamado del valor medio o de Bonnet-Lagrange, dice que en algún punto de un intervalo cerrado, una función continua y derivable en ese intervalo tendrá derivada instantánea igual a la derivada media en el intervalo. ¿Complicado? Pongámoslo en palabras de la calle. Si hago un viaje entre Madrid y Zaragoza y mi media de velocidad en todo el recorrido es de 121 km/h, forzosamente, en algún punto del camino, mi velocidad ha sido exactamente 121 km/h. Veamos de manera intuitiva por qué. Si empiezo yendo a 140 km/h, para que al final la media salga 121 km/h, sé que tarde o temprano tendré que ir por debajo de 121 km/h, para que al final la media salga la que es. Y si voy por encima de 121 y luego voy por debajo de 121, forzosamente en algún lugar tendré que ir exactamente a 121 km/h.

Gracias a este teorema, si colocamos dos cámaras de fotos separadas 10 kilómetros, por ejemplo, en la autopista y vemos que un coche tarda en recorrer esos 10 km menos de 5 minutos, sabremos que, como su velocidad media es mayor que 120 km/h, forzosamente habrá tenido que superar los 120 km/h en algún punto del recorrido, por mucho que a lo mejor a la entrada y a la salida fuera a 80 km/h. Multazo que te crió. El teorema de Lagrange nunca falla :). Este sistema puede tener alguna laguna legal, pero es sólo por el cerval desconocimiento de las matemáticas que sufren nuestros gobernantes. Alguien argumenta que nos multarían sin tener evidencia de nuestro exceso de velocidad, porque a la entrada y a la salida del tramo “cronometrado” nuestra velocidad podría ser adecuada. Nos multarían sin habernos “visto” cometer la infracción. Los que esto argumentan desconocen que de un teorema, siempre que se cumplan las condiciones (la velocidad y la posición deben ser continuas, es decir, no vale teletransportarse ni cambiar instantáneamente la velocidad, cosas que de hecho nunca ocurren), se deduce forzosamente la conclusión. Por fuerza habríamos superado el límite permitido. Ya John Allen Paulos, creo que en su gran libro El hombre anumérico (imprescindible), proponía este método de multas en los peajes de las autopistas. Si corríamos mucho en un tramo de autopista, aún podríamos engañar al sistema parando y tomando un café (o muchos cafés, si nuestro exceso de velocidad era salvaje), para que la media bajase hasta la velocidad permitida. Pero si alguien sobrepasaba la velocidad media permitida en el tramo, se llevaría la multa.

Y lleguemos finalmente a las fotos. Hay veces en que sí se ve el flash y hay veces en que no se ve, aunque sea de noche. Esto es porque hay dos tipos diferentes de cámaras de fotos de tráfico (es posible que haya alguno más, pero dos a los efectos que nos interesan). Unas funcionan con luz visible y otras funcionan con luz infrarroja. Los flashes de las cámaras de luz visible se ven (yo mismo he visto varios flashes en la M-40 y la carretera de la Coruña, en Madrid) y los de las infrarrojas no. Estos últimos tienen la ventaja de que no distraen a los infractores en el momento de sacarles la foto y además no avisan a otros conductores de la presencia del radar (esto último no es una ventaja sino una bajeza, pero en fin).

Actualización: Me había pasado por alto una animación en la que se cuenta muy bien el método de funcionamiento de la cámara:



Y en cuanto a las cámaras, cada día son más “listas”. Uno de nuestros CPIeros de honor, rmcantin, colaboró en un sistema puntero, no para poner multas sino para contar coches, usando cámaras. En sus propias palabras:

Os puedo adelantar que a eso de los cables le quedan dos telediarios. Hace unos años, desarrollamos un software de visión por computador precisamente para contar vehículos usando los millones de cámaras que tiene la DGT en autopistas y ciudades.

Al final conseguimos un sistema bastante robusto y rápido, con mejores tasas de acierto que los cables, sin costes de instalacion ni mantenimiento (mas que hacer 2 clicks en la pantalla del ordenador) y que podía estar funcionando todo el tiempo que hiciera falta. Incluso funciona en retenciones, cosa que los cables no.

Ademas, puedes separar los sensores por carril para tener en cuenta las dos direcciones, con lo que no necesitas metodos estadísticos para detectar el sentido. Incluso te detecta si algún vehículo iba en sentido contrario (pasa mas de lo que creeis).

¡¡¡Incluso conseguimos que funcionara de noche!!! :)

Por cierto, aunque el algoritmo que usábamos era original, la idea de contar con cámaras ya había sido desarrollada por otras empresas. En estos momentos hay bastantes sistemas comerciales que lo hacen. A ver cuál compra la DGT.

Su comentario iba dentro de un hilo en el que se resuelve otra duda CPI: ¿Para qué sirven los cables, normalmente a pares, que vemos tendidos transversalmente por algunas carreteras? Aquí y aquí nuestros foreros resuelven el asunto.

Nueva actualización: gA (¡gracias!) nos ayuda con los términos legales.

Para los físicos, para los químicos…

¡Viernes! ¡Con juegos! Descubro en Aunque no lo parezca, Física y Química un vídeo al estilo de aquellos anuncios de Cocacola, pero con un cierto giro químico. Es simple, y me encanta. Para todos…


Enlace al vídeo en Youtube

 

Se me ha ocurrido una idea tonta para hacerles perder el tiempo :) ¿Se han parado a pensar, estimados lectores, cuál es la palabra más larga que podríamos formar en español con los símbolos de los elementos de la tabla periódica? No vale repetir. Aquí van mis primeros pinitos:


 


 

Si necesitan una chuleta para este sudoku Scrabble químico, aquí les dejo una espectacular tabla periódica que al ir pulsando en los elementos nos los escribe, cortesía de Parzival (¡gracias!).

Actualización (Marzo 2008): Nos envía Lluís (¡gracias!) un enlace a Verbalia, el mundo de los verbívoros, en el que se entretienen y llevan este pasatiempo un paso más allá:

Aportaciones:

1.Rizando el rizo (Deyanira)

Ya que estamos jugando con los elementos, ¿qué tal si formamos sus nombres con los símbolos?

He encontrado todos estos:

Ac Ti Ni O, P La Ta, Am Er I C I O, A Rg O N
Ar Se Ni Co, B Ar I O, B Er I Li O, Br O Mo
Ca Rb O No, C Al C I O, C Er I O, Ca Li F O Rn I O
Cr O Mo, C Es I O, Co B Re, Er Bi O, F Ra N C I O
Ga Li O, He Li O, H As Si O, I nd I O, Po Ta Si O
Kr I Pt O N, La N Ta No, Li Ti O, La W Re N C I O
Lu Te C I O, Ni O Bi O, Ne O N, No Be Li O
Ne Pt U Ni O, O Sm I O, Pr O Ta C Ti Ni O
P La Ti No, Re Ni O, Ru Te Ni O, Es Ca Nd I O
Si Li C I O , S Am Ar I O, Ta N Ta Li O, T Er Bi O
Te C Ne C I O, Ti Ta Ni O, Ta Li O, U Ra Ni O
U N U Nb I O, U N U No C Ti O, U N U N Se Pt I O
Xe No N, I Te Rb I O, C Ir Co Ni O

2.UNa TaBLa PErIODyCa DySTiNTa (Félix Padilla)

AcEro, HeLiO, PLaTa, PLaTiNo, CArBONo, SODyO, BArIO, TaLio, XeNoN, CeSIO, IrIDyo, LitiO, NeON, SiCILiO, LAmTaNO, PoTaSiO, CAlCIO, EsCaNDyO, TiTaNiO, CrOMo, ReNiO, RaDyO, GaLiO, ArSeNiCo, BrOMo, RuTeNIO, AcTiNiO, KrIPtON, RuBiDyO, InDyO, AmTiMoNiO, TAmTaLiO, URaNiO, CuRiO

3.A las verbívoras con química (Indalo)
UN BeSO PaRa TI

4.No es muy larga, pero sí muy sabrosa (Rubén Fernández)

Alumino, yodo, oxígeno, Litio
Ali oli

… Y algunas más que deben descubrir en Verbalia.

Brainiac

Estimados lectores:

El sábado 14 de marzo abril a las 22:20 en la cadena Cuatro comienza un programa que merece la pena ver. Es Brainiac (brain + maniac), en su versión española. ¿Se acuerdan de los metales alcalinos y el agua? Pues eran los de Brainiac, en la versión inglesa.

Iba a contar brevemente de qué va el programa, pero ellos lo hacen mucho mejor:

Brainiac – Ciencia extrema – Estreno el sábado 14 de abril a las 22.20h

CONCEPTO
‘La ciencia es aburrida e incomprensible’: FALSO

– Es show, espectáculo y entretenimiento.

– Enfocado desde un punto de vista didáctico y ameno, con explicaciones claras basadas en infografía y en experimentación directa.

– Con una cuidada puesta en escena – vestuario, ambientación, grafismo, sonorización y localizaciones – e inspirado en grandes éxitos de la ciencia ficción cómo “Los Vengadores”, “La Mosca”, “Matrix” o “Primer”.

Nuestro lema:

‘Los huevos me gustan estrellados’ (Ferrán Adriá).

SECCIONES FIJAS

– Gordo vs. Flaco: comprobamos en qué ocasiones el peso de una persona es una ventaja o un lastre.

– La Caja Nº Cuatro: ¿has probado a destrozar una caja fuerte de las que se usan en los bancos con los medios más extremos? Nosotros sí.

– Cocina a lo bestia: la dieta Brainiac es equilibrada. El problema es cómo preparan la comida. Sólo una sugerencia, no lo intentes en tu cocina.

– Canción del verano: atentados musicales que torturaron nuestros oídos reciben ahora su merecido…y de qué manera.

– Artefactos: ponemos a prueba los artilugios más extraños que caen en nuestras manos.

– Gamberrada: no es ciencia, pero es divertida.

– Microscopio: adivina qué objeto hemos sometido a nuestra lente. Seguro que te sorprendes.

– El microondas: te explicamos por qué no hay que meter ciertas cosas en ese gran invento.

– Brainiac Internacional: fuera de nuestras fronteras también hay “Brainiacs”… y tienen mucho peligro.

Además, cada semana, entre todos los experimentos que llevará a cabo, Brainiac tendrá uno muy especial que no va a dejar a nadie indiferente por tres razones: su espectacularidad, su magnitud y su riesgo. Sólo adelantamos un detalle: dejará a los espectadores con la boca abierta.

PRIMER PROGRAMA

En la primera entrega de Brainiac, Neil se subirá a bordo del L39: un caza capaz de alcanzar los 750 kilómetros por hora. Su misión será comprobar cuántas g’s es capaz de soportar su cuerpo.

En la búsqueda de emociones fuertes, Laura no se quedará atrás, exponiéndose a toda la potencia de un túnel de viento vertical. La fuerza del aire al que se enfrentará Laura equivale a un huracán de nivel cinco.

Además, Brainiac fletará su propio cohete, el Apolo Brainiac, que será propulsado con una cámara a bordo, para mostrar la proeza del lanzamiento en primera persona.

Lo hemos visto en innumerables películas y, por fin, Brainiac demostrará si es si es cierto, o no, uno de los mitos cinematográficos más recurrentes: si disparas a un depósito de bidón de gasolina ¿explota?

También veremos cuántas veces se puede doblar un papel por la mitad. Y, como todos podrán comprobar en casa, no son tantas como parecen.

En un particular test de calidad Brainiac, se demostrará qué embalaje es más efectivo. Arrojando unas televisiones, con diferentes envolturas, desde una furgoneta en marcha, sólo una de las protecciones se proclamará como el embalaje definitivo.

Además, se medirá la eficacia de distintos sistemas de paracaídas. Fabricados con materiales de andar por casa, se descubrirá cual de los paracaídas frenaría más un golpe, en caso de emergencia.

Ah, y Brainiac también responderá a preguntas decisivas para el futuro de la humanidad… ¿Quién flota más: un gordo o un flaco? ¿Se puede abrir una caja fuerte, dejándola caer desde 25 metros? ¿Qué son los leds throwies? [Para esta pregunta en CPI hacemos una suposición] ¿Hasta dónde puede propulsarte un extintor? ¿Es posible construir un hovercraft con tus propias manos? ¿Sabes qué es la dieta Brainiac? ¿Tienes fuego y un tubo? [Y aquí CPI hace otra suposición].

En fin, estimados lectores. Como ven, la cosa promete. El horario no es el mejor del mundo, lo sabemos, pero estoy convencido de que disfrutaré como un enano con él. ¡Aúpa Brainiac!

Consultorio CPI: Decimales

Esteban nos pregunta:

Queridos CPIenses: la verdad que su pagina se ha convertido en una de mis preferidas. Cada vez que entro en internet entro a ver qué hay de nuevo. Bien, el fin de este correo es una consulta que puede sonar idiota. Pero no me han sabido dar la respuesta.

Resulta que sabemos que existen los numeros racionales y los numeros irracionales, ¿no? Bien, parece que hay números que no son irracionales pero que no se puede expresar como fracción. Como por ejemplo 3,9 periódico (). ¿Por qué? Bien, acá vamos con la demostración:

[N. de R. Utilizando el viejo método para hallar la forma de fracción de un número periódico, obtenemos que 3,9999999… = 4. No parece haber una fracción para expresar 3,9999… Omitimos los pasos matemáticos ]

Con cualquier método para pasar de numero decimal a fraccionario pasa lo mismo. Esto me lo hizo ver un profesor mio del secundario que decia “la matemática es inexacta”. Bien, me quedó muy grabado e intentando despejar la duda fui a preguntar en mi facultad al profesor de análisis matemático de la facultad de ciencias exactas de la Plata a ver qué me decian y sólo logré que me dijeran “pero pasa que lo que estás analizando es el límite”. Agradeceria si pudieran darme una explicación más concreta.

Esteban, demos un rodeo (un laaaaargo rodeo), aprovechando tu pregunta, y al final la responderemos. Hagamos un breve recorrido por la historia y taxonomía de los números. Muy breve, porque hay libros enteros (y racionales y complejos :) ) sobre el tema. Empezaremos con los números fáciles e iremos requiriendo más cosas, para lo que incorporaremos a nuestro saber popular nuevas clases de números.

Los números números, los auténticamente intuitivos, son los números naturales. Los matemáticos y otras gentes de mal vivir ( 😉 ) los suelen denotar con esta letra: . Son los números con los que podemos contar: 1, 2, 3… Sirven para contar ovejas para dormir, para ver cuánto dinero tenemos en el banco, cuántos amigos tenemos y para resolver ecuaciones del estilo de 3x = 6 (solución: 2). Según el día que tengan, los teóricos de números dicen que el 0 es o no un número natural. Puede que sí y puede que no, pero lo más seguro es que quién sabe. Hay una cita muy famosa de Leopold Kronecker, un matemático que entre otras cosas inventó la delta (de Kronecker) y le hizo la vida imposible a Cantor, otro matemático ilustre que esperamos que pase en breve por CPI.

Dios hizo los números naturales. El resto es invención humana.

Leopold Kronecker, simplificando.

¿Pero qué pasa en una ecuación del estilo de 4x+14=2? La solución no puede ser un número natural. No hay ningún número que cumpla esa ecuación. Probamos con 1, con 2, con 3… y no sale. La solución, claro está, es –3. Acabamos de toparnos de bruces con los números negativos. Juntos, los naturales y los negativos forman los números enteros (). Su símbolo es una Z porque números se dice zahlen en alemán, según la versión oficial, y se les asignó cuando los alemanes (Principalmente Dedekind y, de nuevo, Cantor) andaban definiendo la teoría de conjuntos.

Ahora ya podemos resolver un montón más de ecuaciones. Además, podemos encontrarles un significado real a estos números. Son los famosos números rojos del banco. Si debo dos táleros o dos doblones, mi patrimonio es de -2.

Seguimos avanzando, y de repente aparece una ecuación que nos vuelve a dejar sin soluciones: 3x=2. No hay ningún número de los que conocemos que nos dé la solución. Solución que, por otra parte, todos sabemos (porque lo sabemos, ¿no? ) que es 2/3. ¡Bienvenidas, fracciones! Las fracciones reciben el nombre técnico de números racionales. Sirven para saber cuántas casas le tocan a cada hermano cuando los tres hermanos reciben una herencia de cinco soluciones habitacionales, por ejemplo. Se abrevian con una que les asignó Peano y que viene de quotiente, cociente en italiano.

Los números racionales son densos en los reales (me he adelantado, pero enseguida llego). Eso quiere decir que si yo escojo un número, cualquier número, tendré un racional tan cerca como quiera. Con los racionales hemos avanzado un montón. Los antiguos pitagóricos estaban convencidos de que todos los números eran racionales. Hasta que llegó Hipaso y demostró que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no podía expresarse como una fracción. O sea, que no era racional. Hipaso pagó cara su osadía, pues dicen las crónicas que fue rápidamente silenciado. Le hicieron una oferta que no pudo rechazar (¿Capisci?).

En efecto, sabemos que si un cuadrado mide un metro de lado, su diagonal medirá exactamente la raíz cuadrada de dos metros. Y el número “raíz de dos” no puede ser escrito como una fracción. Hay no una sino dos demostraciones muy buenas en Gaussianos, por ejemplo. Este número inauguraba una nueva sección: La de los números irracionales (no racionales). Juntos, los irracionales y los racionales forman los números reales (), que son los números de toda la vida. A los que estamos acostumbrados desde pequeños, vaya. π, 3, -2’1 y 10100 son números reales.

Pero no son suficientes. Hay ecuaciones que siguen sin tener solución. Por ejemplo: x2+1=0. Al intentar resolver esta ecuación, nos sale que x=. Y eso, según nos enseñaron en el colegio, no existe. ¿O sí?

Cuando los matemáticos italianos empezaron a estudiar estos números, descubrieron que, a pesar de no tener ningún sentido, sí que cumplían las ecuaciones. Resulta que 2+1 sí que da 0. O sea que si cumplen las ecuaciones entonces tienen que valer como soluciones. Y se les llamó números imaginarios, como contraposición a los números reales. Juntos, los reales y los imaginarios (llamados normalmente imaginarios puros) forman los números complejos (). Hay varias maneras de expresar los números complejos. Una de ellas es la forma binomial, en la que z, un número complejo cualquiera, se escribe z=a+b·i, siendo i nuestra querida .

Estos últimos números dan pie a un viejo chiste de la facultad sobre un profesor de matemáticas tuerto: le llamaban “el complejo”, porque tenía un ojo real y otro imaginario. Lo sé, es muy malo, pero a mí me encanta.

Los complejos forman el primer sistema completo de números. Cualquier ecuación planteada utilizando números complejos tiene una solución en la que sólo aparecen números complejos. Recordemos que, por ejemplo, al humilde número 3 podemos verlo como un número complejo sin parte imaginaria. Los números complejos, a pesar de su aparente inutilidad para las cosas cotidianas (me pone cuarto y mitad de de chopped, por favor), están por todas partes. La electrónica, la mecánica cuántica y mil diferentes ramas de la ciencia hacen un uso real, valga el chiste, de estos números. Están imbricados en la Naturaleza.

Y, bueno. Hasta aquí un paseo por los números. Espero que hayan disfrutado de esta breve historia.

Y ahora veamos qué le pasa a 3,99999…. que parece que sale que es lo mismo que 4. Sabemos que todo número periódico (esto es, en el que hay un decimal o grupo de decimales que se repite periódicamente) puede escribirse como fracción. Hay un viejo método que nos enseñaron en el colegio para conseguirlo.

3,999… parece ser igual a 4. ¡Y es que en realidad lo es! Si yo hago esta operación:

4 — 3,9999…infinitos nueves…9999… , obtengo 0,00000…infinitos ceros…000….

Y 0,000…infinitos ceros…0000… es, a toooodos los efectos, 0. O sea, que 4 y son la misma cosa, pues su resta es cero. No debería de extrañarnos, pero lo hace. ¡Se puede escribir un mismo número de dos maneras! En realidad son la misma manera, pero una de ellas requiere de infinitos decimales, que son los que la hacen igual que la otra. Si en 3,99… dejásemos de escribir nueves en algún momento, ya no sería 4. Ya tendríamos dos números distintos. Por eso uno de tus profesores decía que estabas analizando el límite: porque al empezar a escribir 3,99… y empezar a añadir nueves, lo que estás haciendo es aproximarte cada vez más a 4. Si paras de escribir nueves, te quedas con un número muy cercano a 4. Si no paras nunca de escribir nueves, (“nunca” es nunca), entonces habrás llegado a 4.

Y en cuanto a la frase de tu otro profe, “la matemática es inexacta”, estoy en desacuerdo un %. 😉

En el Foro CPI también hubo encendidas discusiones sobre el tema (y aquí y en los mensajes siguientes, también, haciendo un inmenso off-topic en mitad del hilo de presentaciones, cosa que nos encanta en CPI :) ).

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