Buenas a Todos

Espero que alguien me pueda ayudar. A continuación os mostraré un fragmento de una demostración de una fórmula matemática (del libro "Matemáticas Avanzadas para Ingeniería" de Peter V. O'Neil, página 66). No se si el error está en mi capacidad de entendimiento, o es una errata del libro (que lo dudo mucho):

Capítulo 2 "LA integral de Fourier y las transformadas de Fourier" página 66
...

http://thumbsnap.com/nME28dm1

No entiendo el cambio de variable que hace, luego lo deshace, y resulta algo diferente.


Muchas Gracias

Yo lo veo bien. Intenta ver primero las dos integrales por separado. En la primera se hace el cambio de variable. Por lo tanto, donde pone w -> omega y, por tanto, dw->d(omega), cambio que se hace al cambiar las cotas de integración. La segunda integral se queda como está

En el segundo paso posiblemente sí se pasa por alto un pequeño punto en la explicación y éso es lo que te puede liar. Primero, date cuenta de que las variables de integración (ya sean w, omega o cualquiera) son simples variables "mudas" que quedarán canceladas cuando se proceda con la integración. Así, puedes ponerles el nombre que quieras. Ésto es lo que hace con la primera integral (no es deshacer el cambio de variable, es ponerle otro nombre). Olvídate de la segunda integral, que sigue igual.

Ahora, el paso que tiene gracia y no explican: Cuando ya has hecho los pasos, date cuenta de que tienes dos veces la misma integral, pero una de ellas corre desde [ -infinito , 0 ] y la otra corre desde [0, +infinito]. Entonces, a la hora de sumar, lo que tienes es simplemente ésa misma integral corriendo desde [-infinito, infinito]

No sé si con esto te ha quedado claro, espero haber ayudado.

PS. ¡Qué ganas de poder meter LaTeX por aquí, aunque sea un poquito!

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Buenas Asgard

Gracias por la explicación, pero sigo sin entenderlo. Comprendo todos los pasos excepto el último cambio de variable:

omega -> w -> omega (otra vez)

¿¿¿¿¿Por qué la primera vez el cambio es omega = - W, y luego se fuma un puro y hace que el cambio sea w = omega?????
Si ya ha establecido que omega = -w, ¿porqué luego no lo tiene en cuenta?

Como te ha dicho Asgard, es un índice mudo. Da igual el nombre que le pongas, porque al final de los tiempos, en el resultado, no va a aparecer.

Dicho de otro modo, a ver si lo ves claro, en la primera integral haz el cambio t=w y en la segunda, t=omega. Así, te quedan dos integrales en t que es una continuación de la otra.

Hola

Yo creo que los índices no son mudos, el ejemplo está en que al hacer el primer cambio de variable ( omega -> -w), al diferenciar respecto (- w) los límites de integración cambian de [0, infinito] a [-infinito, 0], y así está escrito en la demostración.
Pero caso aparte, volviendo al punto que no entiendo, la variable omega era común a las dos integrales (a los dos sumandos de un lado de la ecuación) desde un principio de la demostración que no aparece en el fragmento que os muestro. Por tanto, omega es omega para las dos integrales, repito, si hemos dicho que omega es -w, si volvemos a hacer el cambio tendremos que usar omega = -w.

Asi que... sigo sin entenderlo.

Gracias

Ojo, una cosa es que sean mudos y otra que los límites de integración no cambien.

En un cambio de variable lo que haces es "lo que se llama x, ahora se va a llamar f(x), y lo voy a escribir como u". Así, si tu x va de <i>a</i> a <i>b</i>, la variable u debe ir de f(a) a f(b).

Con un ejemplo se entiende mejor: la integral entre 2 y 4 de (x-2)^2. Esto claro que se puede hacer directamente, y da x^3/3-2x^2+4x evaluado entre 4 y 2: 8/3

Sin embargo, puedes hacer el cambio de variable t=x-2, dt=dx, en cuyo caso la primitiva es t^3/3. Para que de el resultado correcto, t tiene que variar en el mismo intervalo que recorre x, esto es, entre 2-2 y 4-2. El resultado, el mismo.

Gracias por la explicación, lo entiendo. Pero seguimos sin abordar porqué al volver a hacer el cambio de variable no usa omega = -w

Lo que te está incordiando es que vuelve a usar la misma letra que antes. Olvídate de ello.

Primero coge cada una de las integrales por separado y hazles el cambio de variable. En esencia, lo que tienes ahí es un número, y no te está cambiando. Ahora súmalas. Te las has apañado para tener una integral que va de -inf a 0 y otra de 0 a inf, cuyo integrando es idéntico. Por tanto, puedes combinarlas y hacer que se evalúe entre -inf e inf.

Buenas, sigo sin entenderlo porque como os he dicho omega es omega para las dos integrales, NO PODEMOS hacer cambios en una como si no pasara nada, porque omega aparece en las dos integrales, debe significar lo mismo en las dos integrales.

En que quedamos ¿omega = w, o omega = -w?

Estás empeñado/a en ver las dos integrales como un conjunto. Piensa que están sumadas, con lo que son dos sumandos independientes. Podemos coger cada una por separado y hacer con ella lo que nos dé la gana. Supongo que éso lo habrás hecho millones de veces, llamar A a una integral, B a la otra, y luego calcular A y B por separado, y al final sumar el resultado.

Toma la primera integral y hazle los cambio de variable que quieras, renombra las variables mudas como te apetezca... y mientras tanto, olvídate de la segunda integral.

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