Olga nos escribe:

Hola,

Ayer plantearon un problemilla en mi curro que la gente que no somos de ciencia nos costó un pelín pillarlo. Espero que te inspire para alguno de tus post. Te cuento:

Pregunta 1. ¿Es lo mismo “medio metro cuadrado” que “la mitad de un metro cuadrado”?

Pregunta 2. ¿Qué relación existe entre estas dos medidas?

Felicidades por tu blog […]

Estamos ante la clásica pregunta tramposa por estar mal formulada. De ésas hay unas cuantas pululando por ahí. Tras ver ésta les preguntaré sobre alguna otra.

Interpretando literalmente la pregunta, la respuesta es “Sí”. Es lo mismo medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado. ¿Cuánto es la mitad de un metro cuadrado? Pues medio metro cuadrado, y no hay más que hablar. Sin embargo, por el hecho de que la pregunta incide en la distinción de dos cosas que parecen iguales, uno intuye el arqueo de cejas del que pregunta y empieza a pensar en otras posibilidades.

“Medio metro cuadrado” podría referirse, de forma mal expresada, al área de un cuadrado de medio metro de lado. Y ahí sí que no es lo mismo. El área de un cuadrado de medio metro de lado es un cuarto de metro cuadrado (0,25 m²). Y a lo mejor ésa era la trampa en la que querían que cayeseis. Esquemilla al canto que hace hincapié en las palabras usadas para la pregunta (clic para ampliar):

Así que respondiendo a la pregunta que os plantearon, Olga, podríamos decir que:

A.- Si somos precisos con el lenguaje:
1.- Sí, es lo mismo.
2.- La relación es 1 a 1

B.- Si sospechamos la trampa:
1.- No. No son lo mismo.
2.- Medio “metro cuadrado” es el doble que “medio metro” (al) cuadrado.

Este tipo de preguntas con términos demasiado ambiguos se suelen plantear a veces como chiste:

¿Por qué las ovejas blancas comen más que las ovejas negras? Es un hecho probado, hay que encontrar la explicación.

Uno puede empezar pensando “Pues no sabía que las ovejas negras comían menos que las blancas. ¿Será la lana? ¿Será el café?” Seguro que en los comentarios algún amable lector nos deja la respuesta

Un chiste matemático relacionado (relacionado con las ovejas), que leí en un libro de John Allen Paulos (no sé si en El hombre anumérico, un imprescindible de la divulgación matemática). De JAP hemos hablado en CPI, por ejemplo, aquí. Hay muchas variantes de la historia, pero ésta es la que yo oí primero (en la facultad de Físicas, claro):

Un astrofísico, un físico experimental, un físico teórico y un matemático van en tren por Escocia. En lo alto de una loma divisan una oveja negra pastando.
El astrofísico dice: “¡Eh! ¡Las ovejas en Escocia son negras!”.
El físico experimental le mira con cara de compasión y dice “Querrás decir que en Escocia algunas ovejas son negras”.
El físico teórico arquea las cejas y dice “Es más correcto decir que al menos una oveja es negra en Escocia”.
El matemático, mirando al cielo como solicitando ayuda, recita “En Escocia existe al menos un prado que contiene al menos una oveja que es negra al menos por uno de sus lados”.

Otra conocida pregunta trampa presentada como acertijo matemático:

Van tres amigos a cenar a un restaurante. Al acabar, piden la cuenta, que asciende a 25 euros. Cada uno de ellos pone 10 euros. Le dan dos de propina al camarero, que les devuelve uno a cada uno. Si cada uno puso 10 euros y les devuelven 1 euro, realmente puso cada uno de ellos 9 euros. 9×3 = 27 euros. Si añadimos los dos que se queda el camarero, hacen 29 euros.
¿Dónde está el euro que falta para alcanzar los 30 euros iniciales?

El truco del anterior acertijo es que no se tienen que alcanzar los 30 euros, seguro que en los comentarios alguien nos ayuda y lo explica con maestría…

En fin, que a partir de la preguntilla inicial me he ido desviando. ¿Conocen más acertijos basados en la ambigüedad de la pregunta, estimados lectoers? ¡Pónganlos en los comentarios, por favor! ¡Ayúdennos a reducir la productividad de los lunes, que es demasiado alta!

Título: Struck by lightning: the curious world of probabilities
Autor: Jeffrey S. Rosenthal
Tema: Divulgación matemática
Editorial: Joseph Henry Press
Páginas: 264
ISBN: 0-309-09734-7
Idioma: Inglés

Había visto este libro hacía un tiempo, y por fin me he hecho con él. Este libro tiene de todo, estimados lectores. El autor le da un repaso a muchos, muchísimos aspectos de la teoría de probabilidades que están, de una u otra manera, relacionados con la vida cotidiana. En 264 cortas páginas hay un montonazo de información.

Comenzamos leyendo sobre la Ley de los grandes números, que nos dice que, a medida que vayamos haciendo “experimentos” (es decir, tirando un dado, jugando a la ruleta, lanzando monedas…), los resultados que obtengamos se irán pareciendo más y más a los resultados esperados. Si tiramos una moneda una vez, sólo puede salir cara o cruz, es decir, o cara el 100% de las veces o cruz el 100% de las veces, números que se alejan de la probabilidad que conocemos de 50% cara y 50% cruz. Pero si tiramos muchas monedas, podemos estar seguros de que los resultados se acercarán a la mitad caras y la mitad cruces. Los casinos conocen este hecho perfectamente y por eso, aunque algún cliente acierte un pleno y gane dinero, es el casino quien a la larga obtiene unos beneficios bastante predecibles.

A continuación, un clásico: las coincidencias. “Increíble, anoche soñé que algo malo le pasaba a mi amigo Pepe y hoy ha tenido un tortazo con el coche”. El autor desmitifica estos hechos aparentemente sobrenaturales (en CPI dijimos algo muy parecido hace un tiempo), por el simple método de formularse la pregunta adecuada: ¿cuántos casos afirmativos entre cuántos casos posibles? Si empezamos a contar cuánta gente sueña que un amigo tiene un accidente y cuántos accidentes hay al día siguiente, veremos que tarde o temprano puede haber una intersección entre ambos grupos de personas. Sin milagros.

Luego nos habla de las distribuciones aleatorias, y de cómo el cerebro humano no está bien cableado para el azar. El dicho de “las desgracias nunca vienen solas” tiene bastante que ver con la probabilidad. Si un suceso aleatorio (pongamos, una desgracia) ocurre en media una vez cada tres meses, es más que probable que de vez en cuando nos sucedan tres desgracias en el mismo mes, por pura ley de probabilidades. El autor da unos cuantos ejemplos, uno de los cuales es bastante claro:

Si le pidiéramos a una persona que distribuyera aleatoriamente puntos sobre una hoja de papel, probablemente todos estarían bastante espaciados e intentarían rellenar todo el folio (a la derecha). Pero el verdadero azar hace que siempre aparezcan conglomerados de puntos (a la izquierda) que llaman la atención y hacen que parezca que “algo” concentra los puntos en una zona concreta. No es así. Es el azar.

Cuando habla de los casinos el autor repasa las probabilidades de victoria en muchos juegos, e incluso hallamos tablas de probabilidades de ganar al Black Jack dependiendo de la primera carta que le haya salido a la banca. Este capítulo está lleno de datos numéricos, realmente interesantes.

Paseamos después por el mundo de las probabilidades pequeñas, y de cómo en general se perciben algunas como mayores de lo que son (ganar la lotería) y otras como menores (morir en accidente de tráfico). Nuestro paseo sigue por la utilidad del azar y los números aleatorios para muchas cosas, desde el cifrado de mensajes hasta las estrategias para ganar o, al menos, no perder, en algunos juegos. Imaginemos que jugamos a “piedra, papel o tijera” con el campeón mundial. Probablemente él haya desarrollado un montón de formas de adivinar cuál va a ser nuestra siguiente elección. Con una psicología propia de un buen jugador de póker, él se dará cuenta enseguida de nuestra tendencia a sacar siempre dos tijeras seguidas, o sacar papel cuando nos acaban de ganar con papel. Si nos dedicamos a jugar a nuestro antojo, probablemente perderemos. La mejor manera de minimizar nuestras probabilidades de perder es hacer nuestras jugadas completamente al azar. Tiramos un dado y si sale 1 o 2 sacamos piedra, 3 o 4 papel y 5 o 6 tijera. Así nuestro oponente nunca podrá anticipársenos. Hemos garantizado que a la larga ganaremos tantas partidas como perdamos. No se puede conseguir esto en cualquier juego en el que nos enfrentamos al campeón del mundo en algo.

El autor habla del significado de los márgenes de confianza de las encuestas, de todos los motivos por los que éstas pueden fallar. También habla de los falsos positivos y negativos en pruebas médicas (como ejemplo, curiosamente, pone el lupus). Habla del problema de Monty Hall y asegura de varias maneras que “correlación no implica causación”: Si tanto el precio del chocolate como el precio de los automóviles han subido este año un 8%, ¿debemos empezar a preocuparnos por la posible relación entre estos dos bienes de consumo? No, probablemente ambos aumentos se deban a la inflación y no tengan relación entre sí.

Por último, nos hablan del desconocimiento en relación con la probabilidad. No es lo mismo el azar de un sistema caótico, que depende de nuestro grado de conocimiento del sistema, que el azar cuántico, que es así por la propia construcción del mundo. Este último capítulo también me encantó.

Hay un montón de temas interesantes en este libro. En los agradecimientos, además, hay alguna perla: “Doy gracias a toda la comunidad Open Source por haber creado GNU/Linux y TeX”.

Mi nota: Muy bueno y muy recomendable.

La filosofía está escrita en este gran volumen —me refiero al universo— que se mantiene continuamente abierto a nuestra inspección, pero que no puede comprenderse a menos que uno aprenda primero a entender el idioma y a interpretar los signos en que está escrito. Está escrito en el idioma de las matemáticas y sus signos son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las que es humanamente imposible entender una sola palabra; sin ellas, uno camina en un oscuro laberinto.

Galileo Galilei, El Ensayador.

Resumiendo, citaré a Jeans, quien dijo que “El Gran Arquitecto parece ser un matemático”. Para aquellos que no conocen las matemáticas, es difícil sentir la belleza, la profunda belleza de la naturaleza. […] Es una pena que tengan que ser las matemáticas, y que las matemáticas se les den mal a bastante gente. […] Los físicos no sabemos traducir a otro idioma. Si quieres aprender sobre la naturaleza, apreciar la naturaleza, es necesario aprender el lenguaje en el que habla. Ella ofrece su información sólo de una manera; y nosotros no somos tan soberbios como para exigirle que cambie antes de prestarle atención.

Richard Feynman, El carácter de la Ley Física.

La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales

Eugene Wigner, título de un artículo .

Hoy, una entrada larga, estimados lectores. Larguísima, porque les traigo un montón de vídeos que deben ver . Hace un par de semanas fui con DrimeR a ver a Les Luthiers. Disfruté como un enano. Andaba diciéndome desde hacía un montón de tiempo que tenía que hablar de ellos, pero sólo ayer, cuando mi prima Raquel (¡gracias, guapa!) me escribió mandándome el teorema de Thales, me puse a ello. Si no conocen a Les Luthiers, estimados lectores, les envidio. Sí, les envidio porque la sensación de descubrimiento que tendrán va a ser un chute que les tendrá colocados mucho tiempo.

Nunca antes ha habido un grupo como Les Luthiers. Son músicos, algunos de ellos intérpretes solistas de guitarra, piano o violín. Son humoristas, y son luthiers, esto es, fabrican instrumentos. Combinan todo ello de manera ab-so-lu-ta-men-te magistral. Sus canciones siempre desbordan ingenio, por los cuatro costados. Disfruten, estimados lectores.

El teorema de Thales habla precisamente de eso. ¿Cómo podríamos recordar un “aburrido” teorema de geometría euclídea? ¡Poniéndole música!

El “Concerto Grosso alla Rústica” es una de mis obras preferidas. Es instrumental, pero gracias al genio del compositor podemos ver cómo una misma melodía es perfectamente barroca y andina al mismo tiempo. El detalle de humor de los cantantes es genial:

La payada (¿adivinanza? - Gracias a todos por las correciones) de la vaca. Jorge Maronna lleva todo el espectáculo apareciendo en el escenario, intentando plantear una adivinanza con música. Al final, el resto de LesLu aceptan el desafío:

Uno de los clásicos: una canción infantil. La gallinita dijo ¡Eureka! Suprema:

¿Y qué pasa cuando uno se va de serenata Mariachi? Pueden pasar muchas cosas…

Les Luthiers tocan todos los palos: Hasta con las canciones renacentistas lo bordan…

Uno de mis favoritos, El rey enamorado. Un simple pronombre transforma una serenata en un prodigio del humor (la música empieza en el 4:45):

Y música criolla: El explicao

Su humor no es siempre musical. A veces los monólogos bastan. Daniel Rabinovich le “roba” el puesto de presentador a Marcos Mundstock, con resultados catastróficos:

Hay más en Youtube, estimados lectores. Les recomiendo todo.

Se acaba de reeditar el libro biográfico de Les Luthiers: Les Luthiers, de la L a la S, con motivo de los ¡40! años sobre los escenarios de este grupo. Llevo unos años intentando conseguirlo. Y les garantizo que dentro de poco podrán verlo comentado por aquí en fin de semana.

Disfruten, estimados lectores.

Actualización: Qué ilusión me hace que seamos tantos los que admiramos a estos genios. Muchas gracias por compartir su Lesluthierofilia, estimados lectores. Las próximas actuaciones pueden encontrarlas en la página oficial de Les Luthiers.

Cheli nos pregunta:

Bien, entre el aluvión de preguntas y cuestiones que tenéis para atender, me gustaría por favor, ver si pueden dedicar unos minutos al siguiente problema:

Supongamos una mosca que va volando sobre una vía de tren, en sentido Norte-Sur. La mosca, como es natural, vuela a una velocidad muy reducida, pero para facilitar el asunto digamos que vuela a 1km/hora. En la misma vía de tren, avanza, como no, un tren, en sentido Sur-Norte.

En un momento dado, y como era de esperar, el tren impacta con la mosca, llevándosela por delante. Bien, es este momento el que quiero analizar detenidamente.

La mosca, va avanzado con una velocidad constante hasta el momento que choca con el tren. Suponemos un movimiento en linea recta puro. Bien, al producirse el choque, la mosca, midiendo tiempos infinitamente pequeños, tiene que perder toda su velocidad, vamos, pasar de 1km/h en sentido N-S a 0 Km/h, para luego acelerar en sentido S-N hasta ponerse a la velocidad del tren. Ya que no existe la aceleración espontanea, esto ha de tomarse como cierto, todas las partículas de la mosca, han tenido que sufrir una pequeña deceleración primero y una gran aceleración después.

Bien el problema viene dado porque dos cuerpos en movimiento y pegados el uno al otro, comparten la misma velocidad y aceleración. En el momento en el que chocan la mosca y el tren, estos quedan pegados y han de compartir la misma velocidad y aceleración. Como he expuesto anteriormente, la mosca, pasa por un momento de velocidad 0, como en ese momento la mosca ya esta pegada al tren, por lógica, ¡el tren ha de haber pasado por un momento de velocidad 0!

¿Por qué, qué es lo que falla?

Bueno, espero que podáis dedicarle un poco de tiempo al asunto y explicarme el proceso completamente. ¡Muchas gracias!

Esta pregunta tiene ya un largo recorrido. Se suele poner como ejemplo para estudiar límites y derivadas. O, por lo menos, a mí me la contaron en el colegio cuando dábamos esos temas.

Ante todo, una precisión. Dices que “las partículas de la mosca han tenido que sufrir una pequeña deceleración primero y una gran aceleración después”. Eso no es correcto. La aceleración que sufren es siempre la misma. Lo que ocurre es que están poco tiempo yendo hacia delante y mucho tiempo yendo hacia atrás. Imagina que tiras una pelota hacia arriba en el borde de un acantilado. La pelota subirá un poquito, se acabará parando y caerá por el acantilado cada vez más rápido. Durante todo ese tiempo, la aceleración que sufre la pelota es la misma: 9,8 m/s² hacia abajo. Sin embargo, la velocidad cambia de signo. Pero no la aceleración, ojo.

Volviendo a nuestro problema, hay dos maneras de enfocarlo: la matemática y la física. Vamos a ver las dos.

En primer lugar, simplifiquemos al máximo (esta forma de plantear el problema es a lo que llamo “la manera matemática”): Supongamos que la mosca y el tren son dos puntos matemáticos (el tren será un punto más gordo que la mosca ). En el instante anterior a la colisión la mosca va hacia el sur y en el instante posterior a la colisión la mosca va hacia el norte, pegada al tren. ¿Qué les pasa a la mosca y al tren en el instante mismo de la colisión?

Podemos verlo mediante una gráfica. O mejor, mediante dos gráficas (no se me asusten, estimados lectores). En la primera gráfica representamos el tiempo en el eje X (horizontal) y la posición en el eje Y (vertical). Vemos que antes de la colisión la posición crece según pasa el tiempo (la mosca avanza) y justo después de la colisión la posición disminuye con el tiempo (la mosca retrocede).

En física y en muchas otras ramas del conocimiento, cuando queremos estudiar cómo varía una magnitud con respecto a otra, utilizamos una cosa (un ente matemático) llamada “derivada”. La derivación es algo que seguro que muchos de ustedes han estudiado, estimados lectores, porque aunque sean de letras, creo, han tenido contacto con ella en el bachillerato.

La velocidad se define como la variación de la posición con respecto al tiempo (igual que la inflación se define como la variación del precio de las cosas con respecto al tiempo). O sea, que si queremos estudiar la velocidad de la mosca, tenemos que derivar la anterior función con respecto al tiempo. Derivamos y pintamos la derivada. Y aquí llega lo chungo:

Vemos en la anterior gráfica que hasta el choque la velocidad de la mosca es positiva y después del choque la velocidad es negativa. En el instante del choque ¡no hay velocidad definida para la mosca!. La derivada de la función posición nos queda como una función con un “agujero” en el instante del choque. Técnicamente diremos que la función velocidad tiene una discontinuidad de primera especie en el punto del choque debido a que la función posición es no derivable en el momento del choque.

Matemáticamente y con las suposiciones iniciales que hemos hecho, este problema no tiene solución. La mosca pasa instantáneamente de ir hacia el sur a ir hacia el norte, contradiciendo la hipótesis inicial de que en algún momento tendría que estarse quieta. La aceleración en este punto sería infinita, lo cual es una violación de las leyes de la física. El tren disminuye un poquito su velocidad, por la conservación del momento lineal, y la mosca se acopla a él de manera instantánea.

Está visto que hemos simplificado demasiado el problema. Si se plantea así, con cuerpos rígidos al estilo de puntos matemáticos, nos perdemos la chicha del problema. Veamos ahora lo que pasaría si metemos más física en el asunto.

Para empezar, ahora tanto el tren como la mosca son cuerpos extensos. En el instante en que la primera capa de moléculas de la mosca golpea con la primera capa de moléculas de la ventanilla delantera del tren, esta primera capa de moléculas de la ventanilla sí se detiene. Incluso, si la mosca es lo suficientemente gorda, podría viajar hacia atrás por culpa del impacto, visto por alguien en la vía. Detrás de la primera capa de átomos de la ventanilla viene otra capa más, y luego otra… todas se van comprimiendo, aunque cada vez menos, porque la energía del choque con la mosca se va disipando en forma de rozamiento entre los átomos del vidrio. Al mismo tiempo, las moléculas de la desdichada mosca se van comprimiendo también, unas contra otras. El problema es que los seres vivos no son demasiado elásticos, y muy probablemente el impacto contra un tren que viene de frente supere el límite de elasticidad de los materiales que componen a la mosca, que no recuperará su forma inicial tras el choque.

Una vez que toda la mosca ha terminado de impactar contra la ventanilla, nos encontramos con un montón de moléculas de vidrio [ arena de sílice (SiO₂), carbonato sódico (Na₂CO₃) y caliza (CaCO₃)] que forman el cristal del tren y que están más comprimidas por culpa del impacto. Las fuerzas entre átomos harán que de nuevo éstos se vayan separando. Por causa de la elasticidad del vidrio (o de cualquier otro material), al expandirse para recuperar sus posiciones originales, los átomos “se pasarán de frenada” y se quedarán un poco más separados que al principio, volviendo de nuevo a acercarse e iniciando una breve vibración en la que toda la red molecular oscila. Estas vibraciones se transmiten a los átomos del aire que golpean la ventanilla y producen sonido (que no es más que una variación de la presión del aire, provocada por un objeto que vibra o se mueve). Ese sonido es el “¡paf!” que oímos cuando la mosca se estampa en el cristal.

Insecto contra parabrisas. Gana el parabrisas. (vía Microsiervos)

La vibración se transmite también lateralmente, hasta los soportes de la ventanilla, que la transmiten a la estructura que soporta a esos soportes, que la transmite por la locomotora, que la transmite… Si no hubiera pérdidas de energía, todo el tren experimentaría una onda de choque que lo recorrería de locomotora a vagón de cola. Pero la energía que le transmite la mosca a la ventanilla difícilmente será medible en la propia estructura metálica de la locomotora. Si pusiéramos “sismógrafos” en el cristal, en el marco del cristal y en un punto cualquiera del interior de la cabina de la locomotora, el choque probablemente sería medible en los dos primeros sitios, pero no en el tercero. La energía aportada por la mosca se disipa rápidamente.

El resultado final es que, en efecto, el tren va un poquito más despacio tras el choque con la mosca y la mosca va a la velocidad del tren (si hacemos numeritos con una mosca de 1 gramo a 1 m/s y una locomotora de 100 toneladas a 30 m/s (=108 km/h), la velocidad de la locomotora disminuye en 0,0000003 m/s). Todos los átomos de la mosca han pasado por un punto de velocidad cero, pero sólo algunos puntos del tren, en la zona frontal de la ventanilla, han hecho lo mismo (comprimiéndose porque los átomos de detrás no lo han hecho, y generando así una compresión que al volver a su posición inicial crea el sonido que oímos al estamparse la mosca).

Para saber más:

1.- Why don’t penguins’ feet freeze, de MIck O’Hare (ed.).
2.- Discontinuidades (Wikipedia).
3.- Límite de elasticidad (Wikipedia).
4.- Composición del vidrio (Wikipedia).