CPI (Curioso pero inútil)

En directo en la Red desde 11111010100

Consultorio CPI: Decimales

Esteban nos pregunta:

Queridos CPIenses: la verdad que su pagina se ha convertido en una de mis preferidas. Cada vez que entro en internet entro a ver qué hay de nuevo. Bien, el fin de este correo es una consulta que puede sonar idiota. Pero no me han sabido dar la respuesta.

Resulta que sabemos que existen los numeros racionales y los numeros irracionales, ¿no? Bien, parece que hay números que no son irracionales pero que no se puede expresar como fracción. Como por ejemplo 3,9 periódico (). ¿Por qué? Bien, acá vamos con la demostración:

[N. de R. Utilizando el viejo método para hallar la forma de fracción de un número periódico, obtenemos que 3,9999999… = 4. No parece haber una fracción para expresar 3,9999… Omitimos los pasos matemáticos ]

Con cualquier método para pasar de numero decimal a fraccionario pasa lo mismo. Esto me lo hizo ver un profesor mio del secundario que decia “la matemática es inexacta”. Bien, me quedó muy grabado e intentando despejar la duda fui a preguntar en mi facultad al profesor de análisis matemático de la facultad de ciencias exactas de la Plata a ver qué me decian y sólo logré que me dijeran “pero pasa que lo que estás analizando es el límite”. Agradeceria si pudieran darme una explicación más concreta.

Esteban, demos un rodeo (un laaaaargo rodeo), aprovechando tu pregunta, y al final la responderemos. Hagamos un breve recorrido por la historia y taxonomía de los números. Muy breve, porque hay libros enteros (y racionales y complejos :) ) sobre el tema. Empezaremos con los números fáciles e iremos requiriendo más cosas, para lo que incorporaremos a nuestro saber popular nuevas clases de números.

Los números números, los auténticamente intuitivos, son los números naturales. Los matemáticos y otras gentes de mal vivir ( 😉 ) los suelen denotar con esta letra: . Son los números con los que podemos contar: 1, 2, 3… Sirven para contar ovejas para dormir, para ver cuánto dinero tenemos en el banco, cuántos amigos tenemos y para resolver ecuaciones del estilo de 3x = 6 (solución: 2). Según el día que tengan, los teóricos de números dicen que el 0 es o no un número natural. Puede que sí y puede que no, pero lo más seguro es que quién sabe. Hay una cita muy famosa de Leopold Kronecker, un matemático que entre otras cosas inventó la delta (de Kronecker) y le hizo la vida imposible a Cantor, otro matemático ilustre que esperamos que pase en breve por CPI.

Dios hizo los números naturales. El resto es invención humana.

Leopold Kronecker, simplificando.

¿Pero qué pasa en una ecuación del estilo de 4x+14=2? La solución no puede ser un número natural. No hay ningún número que cumpla esa ecuación. Probamos con 1, con 2, con 3… y no sale. La solución, claro está, es –3. Acabamos de toparnos de bruces con los números negativos. Juntos, los naturales y los negativos forman los números enteros (). Su símbolo es una Z porque números se dice zahlen en alemán, según la versión oficial, y se les asignó cuando los alemanes (Principalmente Dedekind y, de nuevo, Cantor) andaban definiendo la teoría de conjuntos.

Ahora ya podemos resolver un montón más de ecuaciones. Además, podemos encontrarles un significado real a estos números. Son los famosos números rojos del banco. Si debo dos táleros o dos doblones, mi patrimonio es de -2.

Seguimos avanzando, y de repente aparece una ecuación que nos vuelve a dejar sin soluciones: 3x=2. No hay ningún número de los que conocemos que nos dé la solución. Solución que, por otra parte, todos sabemos (porque lo sabemos, ¿no? ) que es 2/3. ¡Bienvenidas, fracciones! Las fracciones reciben el nombre técnico de números racionales. Sirven para saber cuántas casas le tocan a cada hermano cuando los tres hermanos reciben una herencia de cinco soluciones habitacionales, por ejemplo. Se abrevian con una que les asignó Peano y que viene de quotiente, cociente en italiano.

Los números racionales son densos en los reales (me he adelantado, pero enseguida llego). Eso quiere decir que si yo escojo un número, cualquier número, tendré un racional tan cerca como quiera. Con los racionales hemos avanzado un montón. Los antiguos pitagóricos estaban convencidos de que todos los números eran racionales. Hasta que llegó Hipaso y demostró que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no podía expresarse como una fracción. O sea, que no era racional. Hipaso pagó cara su osadía, pues dicen las crónicas que fue rápidamente silenciado. Le hicieron una oferta que no pudo rechazar (¿Capisci?).

En efecto, sabemos que si un cuadrado mide un metro de lado, su diagonal medirá exactamente la raíz cuadrada de dos metros. Y el número “raíz de dos” no puede ser escrito como una fracción. Hay no una sino dos demostraciones muy buenas en Gaussianos, por ejemplo. Este número inauguraba una nueva sección: La de los números irracionales (no racionales). Juntos, los irracionales y los racionales forman los números reales (), que son los números de toda la vida. A los que estamos acostumbrados desde pequeños, vaya. π, 3, -2’1 y 10100 son números reales.

Pero no son suficientes. Hay ecuaciones que siguen sin tener solución. Por ejemplo: x2+1=0. Al intentar resolver esta ecuación, nos sale que x=. Y eso, según nos enseñaron en el colegio, no existe. ¿O sí?

Cuando los matemáticos italianos empezaron a estudiar estos números, descubrieron que, a pesar de no tener ningún sentido, sí que cumplían las ecuaciones. Resulta que 2+1 sí que da 0. O sea que si cumplen las ecuaciones entonces tienen que valer como soluciones. Y se les llamó números imaginarios, como contraposición a los números reales. Juntos, los reales y los imaginarios (llamados normalmente imaginarios puros) forman los números complejos (). Hay varias maneras de expresar los números complejos. Una de ellas es la forma binomial, en la que z, un número complejo cualquiera, se escribe z=a+b·i, siendo i nuestra querida .

Estos últimos números dan pie a un viejo chiste de la facultad sobre un profesor de matemáticas tuerto: le llamaban “el complejo”, porque tenía un ojo real y otro imaginario. Lo sé, es muy malo, pero a mí me encanta.

Los complejos forman el primer sistema completo de números. Cualquier ecuación planteada utilizando números complejos tiene una solución en la que sólo aparecen números complejos. Recordemos que, por ejemplo, al humilde número 3 podemos verlo como un número complejo sin parte imaginaria. Los números complejos, a pesar de su aparente inutilidad para las cosas cotidianas (me pone cuarto y mitad de de chopped, por favor), están por todas partes. La electrónica, la mecánica cuántica y mil diferentes ramas de la ciencia hacen un uso real, valga el chiste, de estos números. Están imbricados en la Naturaleza.

Y, bueno. Hasta aquí un paseo por los números. Espero que hayan disfrutado de esta breve historia.

Y ahora veamos qué le pasa a 3,99999…. que parece que sale que es lo mismo que 4. Sabemos que todo número periódico (esto es, en el que hay un decimal o grupo de decimales que se repite periódicamente) puede escribirse como fracción. Hay un viejo método que nos enseñaron en el colegio para conseguirlo.

3,999… parece ser igual a 4. ¡Y es que en realidad lo es! Si yo hago esta operación:

4 — 3,9999…infinitos nueves…9999… , obtengo 0,00000…infinitos ceros…000….

Y 0,000…infinitos ceros…0000… es, a toooodos los efectos, 0. O sea, que 4 y son la misma cosa, pues su resta es cero. No debería de extrañarnos, pero lo hace. ¡Se puede escribir un mismo número de dos maneras! En realidad son la misma manera, pero una de ellas requiere de infinitos decimales, que son los que la hacen igual que la otra. Si en 3,99… dejásemos de escribir nueves en algún momento, ya no sería 4. Ya tendríamos dos números distintos. Por eso uno de tus profesores decía que estabas analizando el límite: porque al empezar a escribir 3,99… y empezar a añadir nueves, lo que estás haciendo es aproximarte cada vez más a 4. Si paras de escribir nueves, te quedas con un número muy cercano a 4. Si no paras nunca de escribir nueves, (“nunca” es nunca), entonces habrás llegado a 4.

Y en cuanto a la frase de tu otro profe, “la matemática es inexacta”, estoy en desacuerdo un %. 😉

En el Foro CPI también hubo encendidas discusiones sobre el tema (y aquí y en los mensajes siguientes, también, haciendo un inmenso off-topic en mitad del hilo de presentaciones, cosa que nos encanta en CPI :) ).

55 comentarios en “Consultorio CPI: Decimales

  • Zoro dice:

    Por curiosidad, ¿cual es ese metodo para transformar un número periodico en uno racional? si que tengo el recuerdo de que me hayan hecho el mismo juego, pero han pasado ya muchos años XD

  • Remo dice:

    Zoro: aquí le dan un repaso al asunto, por ejemplo :)

  • Maden dice:

    Que buen resumen de la historia de los números! Remo, felicidades por saber resumir tan bien las cosas y de una forma en la que todos podamos entenderlas!!

  • Remo dice:

    Muchas gracias, Maden. La verdad es que me lo paso pipa escribiendo. Sólo lamento no tener más tiempo…

  • Fran dice:

    muy bueno

    supongo que estas de acuerdo en un 99,^9% o en desacuerdo en un 0,0^1% 😛

    PD: Lo siento pero yo no puedo/sé enlazar al dibujito
    http://curiosoperoinutil.com/wp-content/uploads/2007/04/cien.gif

  • juan haldudo dice:

    ¡Genial! ¡Eres genial! ¡Lo entendí! Ojalá a los 12 años hubiera tenido un profesor como tú y no al c*brón que me hizo odiar las matemáticas (de todos los profesores que he tenido o conocido es al único al que recuerdo con aversión :( ). Mmmmm, ¿habeis pensado Patxi y tú trasladar a formato papel (also known as libro) algunas de vuestras entradas? Me reserven mi ejemplar autografiado, va.
    Saludos

  • Sergio dice:

    ¿Y qué pasa con el 3.666666…? A efectos prácticos, yo creo que NO es 3.7, ¿verdad? ¿Es 3.67? ¿3.667? ¿3.6667? ¿4?…
    Creo que tu explicación trata simplemente un caso particular (sin ánimos de ofender). Realizas un redondeo, con muy poca imprecisión, pero un redondeo al fin y al cabo. Quizás deberías explayarte un poco más.
    saludos

  • ECR dice:

    10 * 3,9999… = 39,9999… = 36 + 3,9999… es decir (10-1) * 3,9999… = 36 ó 9 * 3,9999… = 36 de donde 3,9999… = 36/9 = 4

  • Jafatron dice:

    Qué recuerdos… un flash de aquella clase en la que el profe de mates pintó en la pizarra:

    3 * 1/3 = 3 * 0,3333…
    3/3 = 0.99999…
    1 = 0.99999

    y sentenció muy serio “… las matemáticas sin esto no serían nada”

  • Zandolf dice:

    Otra forma de ver que 3.999… y 4 son el mismo número:
    No podemos encontrar ningún número que esté entre ambos: 3.9999…

  • Zandolf dice:

    Perdón, pero creo que algo de lo que he escrito en mi anterior comentario no ha salido correctamente.
    En cualquier caso, acabo de darme cuenta que la idea que iba a escribir está ya en el foro, así que me remito a lo que odo cuenta en el foro.

  • nessy dice:

    Muy bueno el repaso!

    P.D.: He estado un rato riéndome con el chiste… es malo, lo sé, pero me encantan los chistes malos! 😛

  • Joaquín dice:

    Me han encantado la entrada.

    Hace mucho tiempo que tengo las matemáticas olvidadas (aunque no sé si se puede olvidar algo que en realidad nunca conocí) y éste artículo me ha recordardo a cuando a Neo le enseñan Kung-fu en pocos minutos pero con números y al estilo CPI.

    Un saludo a todos.

  • Dramey dice:

    En mi facultad el llamado “complejo” era cojo, tiene una pata real y otra imaginaria…si al final los mismos chistes van a estar repetidos a lo ancho y largo del mundo.

    Muy bueno el repaso a la historia de los números.

  • Davidmh dice:

    haciendo un inmenso off-topic en mitad del hilo de presentaciones, cosa que nos encanta en CPI :)

    Eso me tranquiliza y me alegra a la vez. 😉

    Muy bueno. Y lo que es aún mejor: muy bueno y muy largo. ¿Con quién hay que hablar para que tengas más tiempo? Ya sabes que mandamos a unos cuantos bueyes de mar gigantes a donde hagan falta. 😈

  • Nevermind dice:

    Bonito detalle el de 10^100= Google xDDDDD

    (Google viene del “gugol” o algo asi, que equivale a 10^100)

  • Nevermind dice:

    ¡Ah! Por cierto, así yo lo veo mejor, no sé vosotros….

    0.99… / 3 = 0.33…

    0.33… = 1/3

    1/3 * 3 = 1

    1 = 0.99…

  • Macluskey dice:

    Lo siento: No estoy de acuerdo.

    Me explico, aunque en matemáticas (y en la mayoría de ciencias serias) esto es cierto, hay otras especialidades donde no: la informática, sin ir más lejos.

    Un programa NUNCA funciona al 100%. Siempre funciona, como máximo, al 99,9…….9% Por muchos nueves que le pongas, siempre quedará la puñetera fracción del 0,0……………………01 que le hará cascar, a ser posible un viernes a las tres de la mañana, justo cuando el sábado tenías previsto salir tempranito a Tegucigalpa.

    Y aquí viene el famoso teorema de Macluskey, que dice que la longitud de la cadena de nueves que vienen después del 99% es inversamente proporcional a lo importante que sea ese programa. Cuanto más importante, menos nueves (o sea, más falla). Y cuanto más arreglos le haces, más falla. Y, como decía la famosa Ley de Murphy: Cuando todo parezca ir bien, es que has olvidado algo.

    Tranquilos: Los computadores nunca dominarán la Tierra al estilo Matrix: Cuando estén a punto de conseguirlo…¡Plaf!, un 0C7 (que es lo mismo que un pantallazo en azul, pero en ordenadores más gordos).

    Para off-topic, no ha estado mal, eh?

  • Alfredo dice:

    Muy bueno el repaso sobre la historia de los números, parece que fue ayer cuando mi profesora de matemáticas me lo explicaba.

    Cuando estaba leyendo la entrada he recordado una cosa que nos dijo una vez mi profesor de física y es que por más que quieras llegar a un sitio nunca podrás ya que siempre recorres la mitad de lo que te queda, y así un largo etc. Pero el caso es que si yo voy de Murcia a Madrid, yo llego a Madrid. ¿Una paradoja de la vida? No se si tiene algo que ver con esto de los números periódicos.

    Un saludo.

  • Remo dice:

    Macluskey: A mí me ha encantado.

    Alfredo: Eso que mencionas es una de las paradojas de Zenón, clavadita :)

  • angro dice:

    Felicidades, Remo. Es fantástico. No sabía lo de que 3.99…. era igual a 4. Me refiero demostrado matemáticamente jajaja.

    Cada día me gusta más tu blog. Me uno a Davidmh y yo envío un jamón jajaja. Todo sea por estas clases tan amenas y didácticas que nos das.

  • Laertes dice:

    En mi facultad también circulaba el chiste del complejo, creo que era el mote de un conserje bizco, pero no me acuerdo bien. ¿O era en el instituto? Buuf, hace demasiado tiempo.

  • angro dice:

    Por cierto, Remo, tu blog se toma muchas licencias con mi nick, ¿eh? jajaaj ¿Quién le ha dicho que me ponga la A en mayúsculas? jajaja

  • […] Este post de Curioso Pero Inútil es muy, muy, muy bueno. Va sobre números y está explicado de forma clarísima. Esta lista, un artículo en la Wikipedia, también es interesante, a pesar de su confuso título. […]

  • Remo dice:

    Es un blog con carácter 😉 La culpa es del WordPress, me parece.

  • Fred dice:

    Bonsoir Remo,
    llego un poco tarde, pero si Macluskey tiene su teorema, yo tengo mi version de los hechos :
    nací un 4 de septiembre, bueno septiembre aqui no tiene sentido si no más la cifra, ya que estamos en el universo “matemáticas”, me alegro saber que seguramente ha sido un 3,999 mi fecha de nacimiento.

    Son como estos días que nunca acaban, pero que tienen que acabar. Por eso acabe con el 4…..¿no?

    Lo del NUNCA, era fácil, lo entendí perfectamente.

  • lordmonedas dice:

    En la facultad de matemáticas de Murcia también hay un Complejo, y hasta lo reconoció el propio profesor en clase.

    No se si es tuerto o no, pero tiene un ojo blanco(iris sin coloración?, no se si eso es posible)

    El desarrollo algebraico de los números me ha recordado un tema de oposición (menos mal que ya ha pasado), pero yo casi prefiero el desarrollo basado en los productos cartesianos, ya que te permite jugar con las cantidades de números que tiene cada conjunto.

    ¿donde hay más números? ¿en N? ¿en Z? ¿en Q?

    Nuestra lógica interna nos dice que en N hay menos que en Z, y en Z menos que en Q, pero…

    Un saludo de un mirón que se ha animado a escribir a unas horas que no le dejan pensar

    Fran

  • Javi dice:

    Otro chiste malo más:

    ¿Qué es un niño complejo? Un niño con padre real y madre imaginaria… xD

    Algún dia habría que hacer una entrada con chistes de ingenieros, el resto del mundo no los entiende, pero nosotros nos descojonamos… que le vamos a hacer, somos así, jeje.
    Estoy enganchado al blog, es la primera vez que comento algo, espero que no sea la última.

  • Ricki dice:

    Discrepo un poco (pero solo un poco eh!!) :-) La duda que me queda es que si dos numeros son iguales, al restarlos me da 0. Pero al sumarlos ? si hago 4 + 4 = 8, pero 4 + 3.99999…. = 7.999….. Por lo tanto no son dos numeros iguales. Depende de que lado se mire !!!
    Saludos para todos!

  • Esteban dice:

    gracias gente por la respuesta! al fin alguien me dijo lo que siempre crei que no podia ser! jajajajaja saludos!

  • Remo dice:

    Fred: Nunca lo había visto así :)

  • Soiden dice:

    Muy bueno todo, aunque yo también opino que la matemática es inexacta.

  • Hankyago dice:

    # 17, discrepo sobre la imposibilidad de que las maquinas puedan construir algo a lo Matrix, es hoy día tecnoógicamente imposible, pero mañana es posible que descubramos que la tierra no es redonda sino cuadrada.

    Para mí, la diferencia entre un humano y una maquina es que el humano puede crear y ejecutar algoritmos, la maquina solo los ejecuta, y hasta aqui, el humano domina el mundo. Cuando se invente la maquina capaz de crear algoritmos, el humano desaparecerá, ya que una maquina ejecuta algoritmos infinitamente mas rapido que un humano, y no le duele la cabeza.

  • Nevermind dice:

    La Matemáticas son 100% exactas. La ignorancia humana las rebaja a un 99.9% de exactitud.

  • tristan dice:

    lordmonedas, pues parece que en hay “menos” numeros que en

  • Remo dice:

    Tristán, dime qué letras habías puesto y lo arreglo… 😉

  • Davidmh dice:

    Oh, sí. Los fantásticos números transfinitos que tuve que averiguar lo que eran porque nadie me lo quería decir. Era una especie de secreto para los no matemáticos.

    Menos mal que estaba Adrián Paenza, por medio de Remo para ayudarme.

  • odo dice:

    El tema de los números transfinitos se trató hace algún tiempo en el foro.

  • Unaiaia dice:

    Otro apodo que se oye por ahí es “Epsilon”, para los profesores “Pequeños y despreciables” 😀

  • angro dice:

    Oye, si ponéis algún día chistes de esos no olvidéis de los queremos reírnos y no tenemos ni pajolera idea. jaja

  • Davidmh dice:

    «Épsilon» es un número cualquiera que tiende a cero. De ahí el chiste de ε=0 equivalente a π≡3.

    Si todavía no lo entiendes, entonces es que aún tienes posibilidades de conservar tu salud mental. 😉

  • Nyonack dice:

    Pues yo discrepo en lo de la exactitud de las matematicas :p

    Ya nos lo dijo un profesor en la universidad cuando alegremente nos pregunto que cual era el resultado de la siguiente formula ” 1+1= ¿? ” Evidentemente todos respondimos que 2 con una carcajada general, el contesto que el resultado de dicha formula era igual a 1, que nos retaba a demostrar matematicamente quien tenia razon y… la cara que se nos quedo a todos cuando gano el profesor fue de foto :p

  • Remo dice:

    Sergio (#7): 3,66666… es 11/3. Y yastá 😉

    Ricki (#29): es que 7,99999…. es 8 😀

    Nyonack. La demostración rigurosa de que 1+1=2 la hizo Bertrand Russell en su opera magna “Los principios de la matemática”. Está basada en teoría de conjuntos. Así que tu profesor se tiró un farol aprovechándose de vuestro desconocimiento de Russell, y le salió bien.

  • odo dice:

    La demostración de Russell (y Whitehead) en los Principia Mathematica (Los Principios de la Matemática es otra obra distinta, aunque de título y tema parecido) tengo entendida que es larga y compleja. En la wikipedia aparece una imagen de la página 379 donde se llega, al fin, a la demostración:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Image:PM1%2B1%3D2lemma.jpg

    Es tan larga porque se parte de principios muy básicos y se va construyendo toda la matemática. Lo que se usa es lo que se llama teoría de tipos (que no es lo mismo que la teoría de conjuntos tal como se entiende hoy en día).

    Mucho más fácil es demostrarlo partiendo de los axiomas de Peano, por ejemplo. El 1 se define como S(0) y el 2 se define como S(S(0)) donde “0” es el número 0 y “S” es “el sucesor de”. Ahora la suma se define mediante una fórmula recursiva:

    a) x + 0 = x
    b) x + S(y) = S(x+y)

    Por tanto, 1 + 1 es

    S(0) + S(0) = S(S(0)+0) = S(S(0)) = 2

    La primera igualdad es por b), la segunda por a) y la tercera definición de “2”.

    Fácil, ¿verdad?

    O sea, que si aceptamos los axiomas de Peano (y las definiciones que he hecho) debemos aceptar que 1 + 1 = 2. Ahora bien, ¿por qué aceptar los axiomas de Peano? Ese es otro tema muuuuucho más complicado 😉

  • Remo dice:

    Supremo, Odo. Muchas gracias.

  • odo dice:

    De nada :) Encantado, por supuesto :)

    He estado pensando un poco más y creo que la mejor respuesta para el profesor de matemáticas que pedía demostrar que 1 + 1 es 2 sería responder “Defíneme qué es 1, qué es 2 y qué es sumar y te lo demostraré” 😉 El problema con todo este tipo de cosas (y con lo de 0,99999…. = 1) es que todo el mundo cree que sabe lo que es un número o lo que es sumar, pero no es tan fácil definirlo todo adecuadamente. Otro ejemplo típico es la gente que no cree que el 0 es un número par (la de veces que he tenido yo que repetirlo a mis alumnos). Si se define lo que es un número par (el que da resto 0 al dividirlo por 2) no hay ningún problema, pero es que la gente en general tiene una idea muy difusa de lo que es un número par, por no hablar ya de lo que representa una expresión como 0,9999….

  • bicho dice:

    Estoy de acuerdo con Kronecker. A la escala adecuada las cosas son contables y por tanto naturales. El error está en poner la coma donde no se debe 😀

  • Guillermo dice:

    Aqui un pequeña prueba que deberia convencer a todo el mundo:

    10*3.999.. – 3.999..=36.000.. Los decimales se restan y ni queda nada

    Pero 10*3.999 -3.999..= (10 -1 ) * 3.999.. = 9 * 3.999.. (distributividad o factor comun llamalo como quieras, es lo mismo).
    Asi tenes:

    9 * 3.999.. = 36 luego 3.999…= 36/9=4
    Conclusion 3.9999…=4

    El truco funciona con cualquier decimal , basta con multiplicar por 10, 1000 o 10^100 segun necesites, puedes obtener la fracción que corresponde a cualquier numero periodico.

  • JAN dice:

    3,999… = 3 + 0,999… = 3 + 9/10 + 9/100 + … = 3 + S

    Nos ocupamos de sumar la serie geométrica infinita S de razón 1/10

    S = a1/(1-r) = (9/10)/(1 – 1/10) = 1 –> 3,999… = 3 + 1

    cqd

  • mantener refrigerado dice:

    Fantástica la página y el post. Enhorabuena.

    Sólo aportar que no debería extrañar que 3.9999999…. y 4 sean el mismo número. “4” o “3.9…” no son verdaderamente números, sino su descripción “para que nos entendamos”. Ambos representan a un mismo número (el siguiente del siguiente del siguiente del siguiente de 0), que de hecho puede ser representado de otras muchas maneras: “IV” en números romanos, o “100” en el sistema binario, etcétera.

    En definitiva, que los seres humanos tenemos sistemas de numeración para poder hablar de los números; pero en particular el sistema posicional de base m tiene la pega de que un mismo número pueda tener dos descripciones.

    Un saludo.

  • Frikisada dice:

    Bien bien bien… Los números…

    Bueno, por aportar algo, podría decir que el 0 NO pertenece a los naturales, pero eso lo digo porque yo lo veo desde el punto de vista de un analista.

    Según el análisis, el cero no pertenece a los naturales porque los números naturales son la intersección de todos los conjuntos inductivos( 1€A, y si n€A–> n+1€A). Claro que, para los algebristas la inducción empieza con el cero…

    Los algebristas, sin embargo, basan su explicación en cuestiones más metafísicas, sobre el vacío, y cómo los números se forman incluyendose unos dentro de otros.

    La verdad, es que los analistas no incluyen al 0 dentro de los números naturales porque les interesa para algunas funciones, y a los algebristas les interesa para algunas operaciones que el 0 si pertenezca.

    Sin duda, lo que más me convención, fue una frase de mi profesor de Cálculo (análisis pero en 1º:
    “contemos las raices de esta funcion, x0, x1, x2, y x3. Tenemos cuatro raíces y termina en x3… ¿No sería mejor empezar a contar desde el 1?”

  • daphoene dice:

    Con el debido respeto, y desde la ignorancia, sigo pensando que 3,999… es distinto de 4, porque el infinito no es un número, lo infinito es la sucesión, y por lo tanto estamos tratando de operar sumando peras con manzanas, como nos decían en la escuela. Y basándome en este hecho, la credibilidad posterior de las pruebas y operaciones que efectuemos habiendo aceptado esta suma “ilegítima” podrán resultarme funcionales, resultonas, aproximadas y/o entretenidas, pero en modo alguno ciertas. De todos modos, quizá el único problema sea lo que cada cuál acepte en la definición, como mencionaban antes, si los pares son aquellos cuyo resto al dividirlos por dos es cero, el cero entra en la definición, y si no es así dependerá. En cualquier modo, creo que un decimal periódico puede entenderse racionalmente como resultado, pero no de forma operativa o práctica, al menos, sin admitir que estamos sobrepasando la lógica que los comprende de un modo convencional para hacerlo operativo, pero nada más. Si álguien tuviera que darme 3,9… euros, nunca dejaría de darme dinero, pero yo jamás tendría 4 euros.

  • Remo dice:

    Si alguien tuviera que darme 3,9… euros, nunca dejaría de darme dinero, pero yo jamás tendría 4 euros.

    Ese razonamiento se parece mucho a una paradoja de Zenón: Para llegar a la diana, una flecha tiene que recorrer la mitad del camino, luego la mitad de la mitad que le queda luego la mitad de… por tanto nunca llegará, porque son infinitos pasos los que tiene que dar y no los dará en tiempo finito. Y sin embargo sabemos que la flecha disparada contra un blanco lo alcanza.

    Plantéatelo de otra manera. Si tienes 3,9999999… €, ¿Cuánto te falta para 4? La respuesta es que no puedes dar un número porque siempre te faltará menos que el número que digas. En realidad te faltan 0 € para llegar a 4.

  • daphoene dice:

    Bién, de la paradoja de Zenón basta con resolver que el espacio que recorre la flecha no es infinito, aunque lo puedas dividir conceptualmente en infinitas partes. De igual modo sigo pensando que te equivocas, en este caso, la paradoja de Zenón sí se ajusta a la lógica, porque cada vez que añades un 9, te estás acercando un 90 %/ número de decimales más al número que buscas, pero jamás llegarás a él. Piénsalo bién, de cada parte, aportamos 9 y despreciamos 1, y la suma de ese 1 que despreciamos también es infinita. No puede ser ;)…Otra cosa es que cuando empiezas a operar con elementos de distinta cualidad – léase números vs. infinito – obtengas los valores que quieres por las propiedades que le has atribuido a esa operación ilegítima. A un ordenador no le puedes decir que sume un infinito, por algo será…

    Un saludo desde mi estepa…;)

  • Cesar dice:

    Wenas. Soy estudiante de informatica y tengo 20 años.
    Me apasionan las matematicas desde siempre. Incluso en el colegio fui a la fase nacional de la olimpiada matematica del año 2000(en Barcelona).
    Disfruto de vuestra pagina desde hace 4 horas y ya he leido unos 10 post interesantisimos(10 post en 4 horas xq estaba haciendo mas cosas a la vez!! jejeje). No he podido evitar compartir con vosotros mi rapida experiencia.
    Espero aparecer por aqui a menudo a partir de ahora.
    1saludo

  • Deja un comentario

    Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *