Rafael pregunta:

Hola y enhorabuena por la página. Tengo una “consulta científica” que quizá puedas ayudarme a resolver. Este domingo leí un librito muy interesante sobre el autismo llamado “El curioso incidente del perro a medianoche”. El caso es que el libro decía que si todos los habitantes del planeta se pusiesen a lanzar una moneda al aire, habría una persona a la que le saldría 5 000 veces seguidas cruz. Ahí va el párrafo concreto del libro:

“La gente cree en Dios porque el mundo es muy complicado. Creen que es muy improbable que algo tan complicado como una ardilla voladora o el ojo humano o un cerebro llegue a existir por casualidad. Pero deberían pensar lógicamente, y si pensaran lógicamente, verían que sólo pueden hacerse esa pregunta porque eso ya ha sucedido y ellos existen. Hay billones de planetas en los que no hay vida, pero en esos planetas no hay nadie con cerebro para darse cuenta. Y es como si toda la gente en el mundo arrojara monedas al aire: a alguien acabaría por salirle cruz 5.698 veces seguidas y se creerían muy especiales. Pero no lo serían, porque habría millones de personas a quienes no les saldría cruz 5.698 veces.”

Me pareció un dato muy chocante, pero me gustaría saber si es estadísticamente posible o sólo una exageración.

Rafael: ante todo, celebro que te haya gustado el libro. A mí me encantó. Y hablando de esa afirmación en concreto, es una absoluta exageración. Completa. Total. Cósmica.

Cuando lanzamos una moneda al aire, suponiendo que sea una moneda perfecta (no trucada), la probabilidad de que salga cara o cruz es de 1/2. Esto significa que si empezamos a tirar una moneda al aire, más o menos la mitad de las veces saldrá cara y la otra mitad cruz. Hay multitud de teoremas de Teoría de la Probabilidad que podemos aplicar aquí. Uno de ellos dice que cuantos más lanzamientos hagamos, más se parecerán las fracciones de caras y cruces a 1/2. Tirando dos veces una moneda, es muy probable (50%) que nos salgan dos caras o bien dos cruces. De ahí, lógicamente, no podemos deducir que siempre vayan a salir caras o siempre cruces.

Para calcular cuál es la probabilidad de obtener un determinado número de caras (o cruces) al tirar una moneda, hay una formulilla; técnicamente se denomina una distribución de probabilidad, la binomial concretamente, que nos da la respuesta. La binomial tiene esta forma:

Donde n es el número de veces que hacemos “el experimento” (lanzar una moneda, en este caso), θ es la probabilidad de que salga lo que queremos (cara, por ejemplo) y x es el número de caras que buscamos. Así, la probabilidad de sacar 5 caras al tirar una moneda 12 veces es:

Sale 0,19, lo que significa que si hacemos muchos conjuntos de 12 lanzamientos, más o menos en 19 de cada 100 de estos conjuntos de lanzamientos, aparecerán 5 caras. Si multiplicamos por dos, 0,38 es la probabilidad de sacar 5 caras o bien 5 cruces.

Ahora que estamos metidos en harina, abordemos el problema que nos planteas. Para sacar 5698 cruces seguidas, la probabilidad es de 1/2⁵⁶⁹⁸. Esta probabilidad es más o menos un cero, una coma, mil setecientos ceros y un uno. O sea, ínfima, despreciable, épsilon, chiquititititita. Es, así a ojo, más probable que atravieses una pared por efecto túnel (hablaremos de él, lo prometo) que sacar tantas cruces seguidas. Si hiciéramos un millón de lanzamientos de moneda cada milésima de segundo, harían falta cientos de miles de cientos de miles de cientos de miles de cientos de miles… … … de cientos de miles de trillones de trillones de trillones… … … de trillones de milenios para tener una probabilidad medible de sacar 5789 caras o cruces consecutivas. La probabilidad es cero a todos los efectos prácticos.

Si toda la Humanidad (unos 6.300 millones de personas) se pusiera a lanzar caras y cruces, el máximo número de caras o cruces que podríamos aspirar a que alguien sacara con bastante confianza, sería de entre 32 y 33 (*) caras/cruces seguidas (el calculillo es sencillo). A partir de ahí las probabilidades de que alguno de los 6300 millones saque más seguidas empiezan a hacerse cerocoma…, lo cual no quiere decir que sea imposible, sino que es muy poco probable.

Y aprovecho para plantear un minidesafío CPI. Saquen un poco de tiempo y una moneda, estimados lectores. Tírenla 10 veces al aire y cuenten las caras. Por simplicidad, no nos preocupará si son caras o cruces; me explico: Si salen tres caras y siete cruces me da lo mismo que si salen tres cruces y 7 caras. Llamaremos a los dos casos una situación “7-3″.

La probabilidad de sacar un 10-0 (diez caras o diez cruces) es de una entre 512 o un 0,19% Uno de cada quinientos doce experimentadores, en media, lo sacará.
La probabilidad de sacar un 9-1 es de 10 entre 512, o un 1,9%. Casi dos de cada cien lectores sacarán esto.
La probabilidad de sacar un 8-2 es de 45 entre 512, o un 8,8%.
La de sacar un 7-3 es de 120 entre 512, o un 23,4%.
La de sacar un 6-4 es de 210 entre 512, o un 41%.
La de sacar un 5-5 es de 126 entre 512, o un 24,6%.

Los porcentajes no suman 100 porque están redondeados. Las fracciones sí suman 1. Fíjense que lo más probable es sacar 6 de una y 4 de otra, no 5 y 5. La probabilidad tiene estas cosillas que desafían el sentido común la intuición. Acabo de hacer dos series y las dos me han salido 6-4. ¡Anímense! ¡Hagan el canelo un rato con una moneda! Si a alguno de ustedes les salen 10 caras o cruces consecutivas, no piensen que ha ocurrido algo extraño. ¡Es lo esperable! Uno de cada 512 lectores lo verá, en media.

(*) Tras un estupendo intercambio de correos con Omalaled, a quien le agradezco su esfuerzo y meticulosidad, he de modificar este número. Si todo el mundo (6.300 millones de personas) tirara 33 monedas al aire, más o menos el 50% de las veces que se hiciera alguien (al menos una persona) obtendría 33 caras. Para que esta probabilidad baje a una entre cien, hay que subir a 39 lanzamientos. Es decir, que si toda la humanidad lanza 39 monedas, la probabilidad de que a alguien, al menos una persona, le salgan todo caras es del 1%. En cualquier caso, de 39 a 5000 y pico sigue habiendo un trecho.

Actualización: ¡Den sus resultados en esta encuesta (gracias, Heimy, por la sugerencia)!

Actualización: ¡Menea este artículo!

Los agujeros negros son los lugares del Universo en donde Dios dividió por cero.

Steven Wright

Descubrí esta frase en la segunda parte del libro Matemática, ¿estás ahí?. ( Petisuis, ¡toma nota!) que ando leyendo estos días. Me encantó, y me puse a buscar quién era el tal Steven Wright. Es un humorista que tiene algunas otras frases divertidas de puro absurdas:

Dame otra palabra para “sinónimo”.
Hay gente que tiene miedo de las alturas. Yo no, a mí me dan miedo las anchuras.
Ayer jugué al póker con una baraja de Tarot. Saqué un full y murieron cuatro personas.
Si una persona con múltiples personalidades amenaza con suicidarse, ¿puede considerarse un asalto con rehenes?
Ayer me puse una claraboya en el techo. Los vecinos de arriba están furiosos.
Tengo un mapa existencial. Tiene “usted está aquí” escrito por todas partes.
Tengo una chimenea de microondas. Puedo pasarme una tarde entera sentado frente al fuego en sólo ocho minutos.
El otro día rompí un espejo. Dicen que son siete años de mala suerte, pero mi abogado me dice que puede conseguirme cinco.
Compré unas pilas el otro día, pero ponía “pilas no incluidas”, así que tuve que volver a comprarlas.

Título: A Long Way Down
Autor: Nick Hornby
Tema: Narrativa
Editorial: Penguin Books
Páginas: 257
ISBN: 0-141-02577-8
Idioma: Inglés (Hay versión en castellano — ¡Gracias, Jot@bé, por el aviso!).

Martin Sharp considera que su vida está acabada. Ha conseguido que le despidan de su trabajo como presentador de televisión, que su mujer le abandone sin dejarle ver a sus hijas y que la gente le señale por la calle. Y todo por haberse acostado con una chica de 15 años (ella le dijo que tenía 16) y haber pasado una temporadita en la cárcel por corrupción de menores. Así las cosas, decide que no queda otra cosa que hacer más que suicidarse. El día de Nochevieja se va a uno de los edificios más altos de Londres para cumplir el trámite saltando desde la azotea. Pero allí se encuentra con que tiene que hacer cola, pues otras tres personas han decidido hacer lo mismo ese día en ese lugar. Así comienza la historia de cuatro personas sin absolutamente nada en común que se verán unidas por las circunstancias.

Me encanta Nick Hornby [NH]. Tiene un estilo mitad ingenuo y mitad socarrón que realmente me gusta. A NH lo conocí por su libro “Alta fidelidad”, del que luego se hizo una película que no he visto pero de la que me han dicho que no está mal. Leí a continuación “Fiebre en las gradas”, que no es una novela sino una biografía de su pasión por el fútbol. NH es un furibundo seguidor del Arsenal, y cuenta en este libro todos sus recuerdos y sentimientos relacionados con este equipo. Un libro fantástico, introspectivo y sincero. Es imposible que yo oiga hablar del Arsenal y no piense en NH. Él mismo lo dice: “mucha gente me recuerda sólo por este detalle, pero es mejor que nada”.

La novela está estupenda. Sabia, divertida, mundana, loca y cáustica. Es realmente divertida. Las situaciones en las que se ven involucrados los protagonistas son de carcajada en más de una ocasión. Tengo en rampa de lanzamiento dos más de NH, una de las cuales también lleva película asociada (“About a boy”, “Un niño grande” en castellano). Este señor sabe escribir y además me parece realmente divertido.

Mi nota: Muy recomendable.

Hoy, una entrada menos CPI de lo habitual. Me he encontrado con algo que me ha sorprendido. Cito textualmente de Tecnocidanos:

Hace unos días -lo supimos vía kottke y también por My heart’s in Accra-, Bruce Sterling ha contado que un amigo le ha contado un experimento (The Harvey Mudd experiment) que da mucho que pensar. Un profesor ha dividido la clase en dos grupos. Al primero le ha puesto la condición de que sólo puede manejar material impreso para estudiar y preparar sus trabajos. El segundo, por el contrario, sólo puede utilizar recursos obtenidos vía Internet. A las pocas semanas, el profesor, cuenta Sterling, tuvo que suspender el experimento porque los que usaban libros se estaban quedando tremendamente retrasados.

Los contenidos no tienen necesariamente que ser diferentes. No se si los pedagogos estarán de acuerdo en la analogía que pudiera establecerse entre mandar a un grupo a pescar con caña y al otro con red. Y no hablamos sólo del éxito que, siguiendo con el ejemplo, se mide por número de peces pescados. Tampoco queremos (al menos hoy) referirnos a la distinta relación con el mar que se construye cuando de una actividad de carácter privado (y quizás íntimo) se pasa a una más profesional y colectiva.

El hecho que se menciona alude a un experimento donde lo que se contrasta no son las personas, sino las tecnologías y, según parece, la conclusión es apabullante e insinúa que a la larga produce diferencias mucho más acusadas de lo que nuestra sociedad se puede permitir. O, dicho en otros términos, que ya tenemos otro nuevo argumento para regresar sobre el problema de brecha digital que está escindiendo nuestro mundo.

Da que pensar… Yo lo sigo rumiando.

Hoy nos ponemos electrónicos, estimados lectores. En primer lugar, un vídeo de un invento que nos envía transeunte iluso (¡gracias!) y que a lo mejor ya han visto por ahí: El reactable.

Se trata de un sintetizador, básicamente, desarrollado por el grupo de Tecnología Musucial de la Pompeu Fabra. Lo bueno es que es totalmente modular. Las piezas que van poniendo sobre la mesa son de plástico, no tienen sensores ni actuadores. Todo el trabajo lo hace una cámara de vídeo bajo la pantalla azul que muestrea la superficie y detecta si hay nuevas piezas, de qué tipo son y su posición. No sé si ustedes programan en Labview, estimados lectores, pero me lo ha recordado bastante. El grupo tiene bastantes publicaciones , por si les interesan los intríngulis del asunto. Tienen un par de vídeos más aquí y aquí.

Y otra más de música electrónica. De nuevo, descubro en The Smoke Sellers un impresionante documento sobre música electrónica. Un tipo enchufa un láser a un panel solar y lo modula con ondas en la superficie de un plato de agua.

El funcionamiento es simple: un láser está apuntando a un panel solar, que transforma luz en corriente eléctrica. Esa corriente modula el sonido que sale de un generador de ondas a 440 Hz, por lo que oiremos un “la” modulado por la corriente eléctrica que sale del panel en cada instante. El láser atraviesa el agua, de modo que cuando hacemos olas en la superficie, el haz se verá refractado, reflejado y dispersado de mil formas distintas (también se refleja en el vidrio, vean el punto rojo en la mesa por detrás del cuenco en el primer vídeo), según el ángulo con el que incida en el agua en cada momento. Puede verse en este primer vídeo cómo las ondas deforman el haz láser, que llega al panel con formas cambiantes. El panel solar refleja estas variaciones de intensidad del láser y se pueden “oir” gracias al generador. El resultado es ciertamente curioso.

En la segunda versión de su experimento, usa ya cinco láseres (y suena mucho mejor):