CPI (Curioso pero inútil)

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Consultorio CPI: Gravedad (II)

El comentario del libro de Brin del otro día me hizo recordar, cabeza la mía, la pregunta que hizo Ernesto de la Serna (no, ése no, el otro Ernesto de la Serna, el que tiene un blog). Tras la primera entrada sobre gravedad y con bastante retraso (perdóname, Ernesto), llega otra duda gravitatoria. Ernesto nos pregunta:

Queridos (y admirados) Remo y Patxi,

Pues ayer en la comida hablaba con mi mujer y un amigo, y en plan chorra comentábamos que la vía más corta (que no más rápida ni viable) para ir a Nueva Zelanda desde España sería cavar un hoyo vertical en el suelo y seguir hasta llegar a nuestro destino.

La conversación, surgida al hilo de la trilogía de “El Señor de los Anillos”, degeneró en un debate muy CPI para el que no llegamos a una respuesta concluyente, y que por tanto os traslado para que me pongáis en vuestra nutrida lista de espera de preguntas y consultas CPI.

La cuestión es: ¿cómo funcionará la gravedad si empezamos a excavar un hoyo vertical en dirección al centro de la Tierra? En principio, por lógica, si cuanto más nos alejamos del planeta, la gravedad disminuye, ergo si nos acercamos al núcleo, la fuerza gravitatoria debería aumentar. Pero por otra parte, la masa de planeta que tenemos bajo nosotros iría disminuyendo conforme avanzamos en nuestra excavación, y siendo que la gravedad (si no me equivoco) se relaciona directamente con la masa, entonces la fuerza gravitatoria debería ir disminuyendo.

Dejando aparte el hecho de que lo único cierto es que nos chamuscaríamos en cuanto estuviéramos unos cuantos kilómetros bajo tierra, y que la pregunta es una paja mental totalmente CPI, ¿qué es lo que ocurriría? ¿La fuerza de la gravedad, conforme bajemos hacia el núcleo, aumentará o disminuirá?

Saludos, gracias y enhorabuena por el pedazo de blog que lleváis. De lo mejorcito.

Un abrazo,

Tu intuición, estimado Ernesto, es correcta. La gravedad disminuye cuando empezamos a meternos bajo tierra (o bajo Tierra). El motivo lo has explicado también tú: un objeto se ve atraído por todos los átomos de la Tierra. Cuando comienzas a descender hacia el centro, cada vez tienes menos masa por delante (debajo) de tí y más por detrás (encima). Por tanto, cada vez se compensa más la atracción hacia abajo con la atracción hacia arriba. Como caso límite, en el puro centro de la Tierra, suponiendo que pudiéramos llegar a él, la gravedad sería nula. La Tierra, (supuesta esférica), tiraría de tí (supuesto esférico :) ) en todas las direcciones por igual, con lo que la resultante sería nula y no notarías la gravedad. ¿Alguien dijo Servilleta de Bar™?

gravedad-II-1.jpg

Gráficamente, se puede observar cómo cambia la gravedad a medida que nos acercamos e introducimos en la Tierra.

gravedad-tierra.gif

Fíjense, estimados lectores, que el valor de la aceleración de la gravedad es máximo en la superficie. A medida que nos alejamos, disminuye como 1/r2, siendo r la distancia al centro de la Tierra. Esta fórmula la hemos estudiado todos (creo) en el colegio:aceleracion-gravedad.gif. A medida que nos metemos dentro, disminuye como r.

Ahondando un poco en el tema, no es lo mismo meterse en un planeta macizo que en un planeta hueco. Si nos hallamos en el interior de una corteza esférica, da igual en qué punto estemos, la gravedad será siempre nula. De nuevo, servilleta al canto:

gravedad-II-2.jpg

Espero que la duda haya quedado resuelta. ¡Qué divertido es irse a un bar con birras a responder las consultas!

38 comentarios en “Consultorio CPI: Gravedad (II)

  • pipistrellum dice:

    En el caso del planeta hueco la gravedad no nos atraeria hacia la corteza que es donde hay masa?
    Si se esta exactamente en el centro, las fuerzas se equilibrarian, pero si se esta algo desplazado, uno se veria atraido hacia el lado de la corteza más cercano, no?

  • Remo dice:

    No, Pip. En un cascarón esférico la parte de la corteza más cercana atrae con más fuerza por unidad de área (pues está a menor distancia) pero con menos masa, mientras que la otra parte atrae con menos fuerza pero con más masa. Si el cascarón es hueco, se compensan. Aquí tienes una demostración breve.

  • Serlio dice:

    Y si el agujero ya está hecho y nos dejamos caer en él, suponiendo que no hubiese fricción (y que la tierra es esférica, y que el agujero es perfectamente cilíndrico, etc.), llegaríamos a Nueva Zelanda, no? Eso sí, a la llegada alguien tendría que cogernos, porque si no volveríamos a caer hasta España!!

  • Patxi dice:

    ¡Eres un genio de la didactica! ¡Capaz de explicar algo asi sin usar el nombre “Teorema de Gauss” y asustar a la audiencia!

    ¡Me ha gustado mucho el post! (ya que esto lo estudie en 1º carrera).

    Solo falta el comentario final: Si fueses capaz de crear un tunel sin fricción y te tirases por él, rebotarías Barcelona-Wellington como si fuera un muelle. Ya que la ley de atracción en la esfera, al ser lineal con la distancia es equivalente a la ley de Hooke para un muelle.

  • KillerRex dice:

    Bueno, para lo del agujero falta otra hipótesis importante: “Que la Tierra se esté quietecita” Si no el agujero tiene que tener forma curiosa para compensar la rotación de la Tierra (si me da la vena me pongo y saco la ecuación… pero no creo que me de :-D)

  • Remo dice:

    KillerRex: supongamos por simplicidad que el agujero es de polo a polo “y que la tierra es esférica” :) .

  • Heimy dice:

    Mh… No sé, Serlio, pero la intuición me dice que en cuanto pasases (hipotéticamente) el centro de la Tierra, adquirirías una aceleración negativa (cada vez mayor), porque de repente tienes cada vez más masa por detrás. Necesitarías propulsión de algún tipo para llegar a la superficie.

    Aunque en el caso de que no existiese velocidad terminal y pudieras acelerar durante todo el camino hacia el centro, entonces no tendría que pararte nadie: tu velocidad sería 0 en el momento en que salieses por el otro extremo del agujero. Sería cuestión de andar rápido de reflejos y agarrarse a algo para no volver a salir por España.

  • Jaizki dice:

    Alf comentó en Mala Ciencia el caso de atravesar un planeta en la entrada Perdidos en el espacio.

  • Andrew Wiggin dice:

    Y una curiosidad, mas que nada CPL. Aqui podemos hablar estrictamente de gravedad o realmente estamos hablando de peso? Es que tenia un profesor de fisica que era muy puntilloso con este tema (y con la fuerza centripeta mas!)

  • KillerRex dice:

    Vaaale, acepto agujero polar 😀
    .
    .
    .
    Estooo ¿y la traslación en torno al Sol? ¿Y la Luna? ¿Y…? Ya, que no hay que ponerse quisquilloso, ya, que era un ejemplo

  • Remo dice:

    Andrew Wiggin: Tu peso es tu masa multiplicada por la gravedad (P=m·g). Como la masa no cambia (pues despreciamos efectos relativistas y dietas hipocalóricas durante la caída :) ), si se incrementa la gravedad se incrementa el peso y viceversa. Podemos hablar de cualquiera de los dos.

  • fridwulfa dice:

    Fíjate, lo que podría haber hecho Julio Verne con semejante información… Fantástico post, por cierto, “Science for Dummies” a tu lado parece la tesis doctoral de Stephen Hawkins.

  • sushida dice:

    Aix! como echaba de menos las servilletas de Bar…

    La verdad es que creo que me habría ido mucho mejor en la carrera de haber tenido los libros hechos con servilletas de bar :)

  • Txet dice:

    Creo que por aquello de la conservacion de la energia y estas cosas, si no hay friccion, cualquier tunel que salga de la superficie de la tierra, y llegue a la superficie de la tierra(en qualquier punto), nos permitiria salir a la misma velocidad que hemos entrado (0 si nos hemos dejado caer).
    Pero ademas, creo que si los tuneles son rectos(como cuerdas de circumferencia en 3d), el tiempo que tardamos a atravesar el tunel es constante por todos los tuneles rectos posibles.

  • Remo dice:

    Txet, si haces un túnel que vaya de Madrid a Barcelona no “caerás”, sino que tendrás que ir caminando, porque la gravedad va hacia el centro de la Tierra y el túnel no. Para caer por el túnel y no irte hacia las paredes, además de tener en cuenta efectos complejos como la rotación de la Tierra sobre sí misma y alrededor del Sol (sin contar efectos lunares), es imprescindible que el túnel pase por el centro de la Tierra.

  • Serlio dice:

    Heimy (#7), he supuesto que no había fricción. Sin fricción no hay velocidad terminal (al menos a escala newtoniana, que creo que se puede aplicar aquí). En ese caso, si te dejas caer en el agujero en España, llegarías exactamente a la superficie en Nueva Zelanda.

    Remo, si suponemos una Tierra perfectamente esférica y un agujero exactamente diametral, la rotación de la Tierra no influye en absoluto en el problema, no?

  • Remo dice:

    Serlio, si el diámetro va de polo a polo, no. Si va de España a Nueva Zelanda tendrás un efecto Coriolis que te tirará hacia una pared (tu velocidad transversal es la de la superficie, pero cuando vas más abajo lo que se mantiene constante es la velocidad angular, no la lineal, por lo que te acercarás a la pared este). ((Creo))

  • Muchas gracias por la completísima respuesta, Remo. Veo, a la luz de las servilletas, que la pregunta os sirvió para amenizar una velada cervecera: me alegro por ello.

    Un abrazo.

  • Heimy dice:

    Serlio #16: ya, me salté esa parte, pero añadí el segundo párrafo por si acaso 😉

  • Serlio dice:

    Tienes ración, Remo, estaba simplificando demasiado en mi cabeza :(

  • Nacho dice:

    Bueno bueno, que alegria ver esas servilletas, cuantos recuerdos. Sin duda sobre ellas se han plasmado las mejores ideas. Con el vuestro permiso, os aviso que mi humilde blog, espero que conocido por algunos de vosotros, sobre “cacharros voladores”: http://www.sinlospiesenlatierra.com ha recibido un buen lavado de cara. Espero vuestras opiniones.

  • Txet dice:

    Remo, sin tener en cuenta el efecto coriolis debido a la rotacion de la tierra ,y suponiendo una tierra esferica (todos los puntos de la superficie a la misma distancia del centro), la linea que une dos puntos de la superficie, no es perpendicular a la linea que une estos dos puntos con el centro de la tierra(cuanto mas alejados esten los puntos mas se ve). Por lo tanto, en uno de esto puntos, el de entrada por ejemplo, la fuerza que la tierra ejerce sobre un objeto se puede descomponer en dos partes, una siguiendo la direccion del tunel y otra perpendicular a el.
    Como no hay friccion la fuerza perpendicular no hace nada, y la otra, te impulsaria de Madrid a Barcelona.
    De hecho En todos los puntos de nuestro tunel recto hay una fuerza que nos impulsa o nos frena, menos en el punto del medio, en el cual la fuerza de la gravedad y la direccion del tunel son perpendiculares.

  • Remo dice:

    En efecto, Txet, tal vez la confusión surge porque hablábamos de que no había rozamiento con el aire (yo, por lo menos). Lo que tú describes sería un “tobogán” hacia “abajo” la mitad del camino (sientes que la gravedad te atrae hacia “adelante”) y hacia “arriba” la segunda mitad. No sería una caída libre, sino una rampa (a pesar de ser recto).

  • Txet dice:

    si, si quieres llamarle rampa le llamamos rampa, a diferencia del tunel diametral, en este caso estarias obligado a tocar las paredes.

  • Siebel dice:

    Lo que ocurriria , con todos los supuestos incluidos (sin efecto coriolis , friccion , etc…) es un movimiento pendular infinito de superficie a superficie , creo.

  • Txet dice:

    si, y si lo calculas es bonito, porque la frequencia del pendulo por cualquier tunel (o rampa) rectos es de raiz quadrada de (g en la superficie de al tierra, dividido por el radio de la tierra). Y ademas es la misma frequencia que tendria un satelite en vuelo rasante(altura 0), si eso fuera posible claro.
    En las hipotesis hay que incluir que la densidad de la tierra es constante.

  • SuperWebon dice:

    Si intentas hacer un agujero para ir a nueva zelanda, lo primero es que te vas a cansar mucho de cavar, lo segundo que vas a gastar más en palas y en botijos de agua (es más cañí y ahí abajo estará mas fresquito, jeje) que si fueras en primera clase con Charlize Theron al lado y tercero que la diñarías fijo ya que o bien te conviertes en un megatumor con patas por el material radioactivo que hay por esos lares o te convertirías en un pollo muy muy muy muyyyy asado (o ambas dos).

    Esto de la servilleta me recuerda a cuando 3 amigos tomando pacharan un domingo por la tarde como si fueramos viejetes despues de salir de ver los toros inventamos la “Escala de Trackoff”, incluso su vida, obra, vestimenta, costumbres… La escala viene a ser algo así como la “Escala del Richal” como dicen los de Gomaespuma pero para medir tracas del 1 al 10. Las tracas en este caso no son petardos sino cosas en plan típica parida gordísima que dices cuando estás un poco bastante contentillo tirando a borracho perdido y os reís de lo absurdo que es.

    En fin… poseso.

  • He seguido con interés este artículo, recordando sesiones casi olvidadas de Física Teórica I (Mecánica). Una precisión que creo que nadie ha hecho:

    Puede demostrarse que el movimiento de un objeto que se deja caer en el hipotético túnel que atravesara la Tierra de lado a lado sería oscilatorio (en ausencia de fricción y de rotación, o bien suponiendo el túnel de polo a polo). El objeto sufre una aceleración máxima en cada uno de los dos extremos, cuando la velocidad es cero; incrementa su velocidad al tiempo que se reduce la aceleración, al punto que aquélla es máxima y ésta mínima en el centro de la Tierra.

    Un saludo.

  • Ligros dice:

    La pregunta de Ernesto ha sido durante mucho tiempo una de mis mayores dudas existenciales.
    En su hipotesis inicial pense que estaba equivocado; crei, sencillamente, que a medida que bajaramos la fuerza de gravedad seria mayor. No comtemple el hecho de que se produjera una atraccion a nivel microscopico (“cada atomo de la tierra”), me limitaba a ver la tierra como un todo, la cual ejercia una fuerza de gravedad hacia su c.d.g.
    Esta explicacion tiene mucho sentido, pero me genera un interrogante. ¿Una persona subida a la cima del Everest experimenta una mayor fuerza de gravedad que otra que esta montada en globo a la misma altura que el Everest?. Imagino que si.
    Me despido felicitando al personal por el excelente blog y dejando en el aire otra clasica pregunta Fisica… ¿Si g=G*(M/R^2) entre dos cuerpos, porque no me quedo pegado a la silla cuando me siento, si la distancia es cero? 😛

    Un saludo!!!

  • Ligros:

    Todas las explicaciones realizadas hasta ahora suponen una Tierra perfectamente esférica y de densidad uniforme (algo típico de los físicos para poder resolver sus problemas). En el caso de la Tierra física hay pequeñas variaciones de aceleración gravitacional (g) por cambios de densidad y de cantidad de materia; sin embargo, el factor abrumadoramente dominante sigue siendo la distancia, en este caso la distancia al CENTRO de la Tierra. Por tanto, a primera aproximación, Sir Edmund Hillary y una persona montada en un avión a 8.848 m de altura sufren prácticamente la misma fuerza.

    Tu segunda pregunta contiene un error conceptual. Si bien la silla te atrae gravitacionalmente (como cualquier otro cuerpo), esa atracción es ínfima, irrelevante. Lo que te tiene “pegado” a la silla es la fuerza de gravedad de la TIERRA, no la de la silla. La silla lo único que hace es repelerte con una fuerza igual a tu peso, manteniéndote en equilibrio. Esa repulsión, en último análisis, es una fuerza electromagnética. Por lo demás, la distancia entre tú y la silla no es cero. No lo es porque vuestros centros de gravedad no coinciden, y no lo es porque a nivel microscópico sigue habiendo una distancia considerable entre tus átomos y los átomos de la silla.

  • lesmurff dice:

    Este problema me consiguio el 5 en fisica de 2º Bach…
    Lo llamabamos tunel diametral y suponiendo la Tierra uniforme y despreciando rozamientos e irregularidades varias el movimiento de un cuerpo por el tunel es considerado un Movimiento Armonico Simple de frecuencia 42 min aprox y amplitud 2R(R=radio de la tierra). Esos 42 minutos tambien es el tiempo que tardaria un satelite a ras de suelo y sin rozamiento(esto tiene su aplicacion para los satelites geo[e]stacionarios(los que siempre estan sobre el mismo punto de la Tierra) y cualquier otro tunel recto entre dos puntos cualesquiera de la Tierra(Madrid-Barcelona,Casa-bar de la esquina,…)

    Saludos y enhora[s]buenas por la página

  • David dice:

    Eso es de 2º de bachillerato!! xD mola, le falta teorema de gauss al canto ejeje

  • carlos_sg dice:

    Ese problema viene en mi antiguo libro de fisica. Si cavas un agujero de un punto de la tierra a otro pasando por el centro y te tiras, se produce un movimiento armonico simple, como un péndulo o un muelle. Cuando te tires, efectivamente, seras atraido con fuerza maxima nada mas tirarte, y esa fuerza irá disminuyendo hasta hacerse nula en el centro, pero amigo, tienes mucha energia que conservas de todo tu viaje por el radio de la tierra: ninguna fuerza ha sido aplicada sobre ti en sentido contrario a la gravedad hasta ese momento, has sido acelerado cada vez con menos fuerza, con lo cual sigues tu camino. A partir del centro de la tierra y hasta completar el diámetro, la fuerza va aumentando en módulo, y tiene sentido opuesto a la anterior, con lo cual te vas frenando. Cuando llegas a la otra punta de la tierra, sucede lo mismo y asi infinitamente, sólo frenado por el rozamiento del aire. Si no fuera por él, seguirías infinitamente viajando por el centro de la tierra. Por cierto lo calculé, y justo en el centro tienes una velocidad de 2,algo la del sonido. Está bien.

  • Seldon2 dice:

    Aunque ha pasado más de un año desde el último comentario me he animado a escribir.

    Me ha surgido una duda cuando se hablaba del planeta hueco, solo la corteza y alguien flotando en el interior. Si el planeta hueco gira sobre sí mismo, ¿habría una aceleración que hiciera de “gravedad ficticia”? Esto lo he visto en las naves espaciales de Arthur C. Clarke y, creo, que El Mundo Anillo tiene un funcionamiento parecido.

    En fin, quizás este razonamiento tenga algún fallo, pero no me he detenido mucho a pensarlo pues prefiero compartir mis inquietudes con vostros.

    Remo, si en vez de responder por aquí prefieres que se haga en otra entrada nueva por mi perfecto. Y si ya se ha hecho esta pregunta en algún otro sitio siento la pérdida de tiempo. :)

  • Toño dice:

    Remo, no me he leido todos los mensajes y no se si alguien ha contestado al (creo) de tu respuesta (17), pero yo creo que no te pegarías a la pared este sino a la oeste. La explicación sería la siguiente. Si estamos en España por ejemplo y nos tiramos por el aujero hacia Nueva Zelanda nuestra velocidad angular se mantiene pero la velocidad lineal tendería a bajar ya que la distancia al eje de rotación empieza a disminuir según caemos. Nuestra trayectoria va a velar por la conservación de la energía por lo que será a aquella en la que la velocidad lineal se mantenga (y todas sus componentes), así que nos vamos a chocar con la pared oeste hasta que lleguemos al centro de la tierra y a partir de ahí y hasta llegar a Nueva Zelanda chocaríamos con la pared Este (aparece la acelaración de Coriolis que es ficticia por no ser causada más que por la conservación de la energía). Si estos choques no fueran puramente elásticos no llegaríamos a salir por el otro lado ya que perderíamos energía, y si lo fueran lo que ocurriría es que toda la energía se transformaría en velocidad hacia el centro con lo que nuestra aceleración sería mayor que la teórica provocada por la gravedad. (Creo)

  • Remo dice:

    Seldon2:

    Aquí estamos para lo que haga falta. Si estás flotando en el centro de un planeta hueco y éste empieza a gira, no habrá ninguna diferencia, salvo minúsculos efectos relativistas (arrastre del espaciotiempo por una masa en movimiento, del que tal vez hablemos algún día). Si, cn cambio, te acercas a la corteza del planeta y a base de rozar (pisar) empiezas a moverte con ella, notarás una pseudogravedad que te hará pegarte a la corteza. cuando alcances la velocidad de la corteza, la pseudogravedad será máxima y podrás estar de pie sobre el interior de la corteza sintiendo una aceleración constante hacia fuera.

  • Toño dice:

    Corrijo mi comentario anterior. Es a la pared Este a la que te pegas como bien creía Remo ya que la tierra gira de Oeste a Este y por tanto cuando empiezas a moverte hacie el centro tu velocidad lineal tiene que empezar a disminuir (ya que la angular se mantiene y el radio disminuye). Como la velocidad no “quiere” disminuir, entonces te chocas con la pared hacia el lado al que se dirige la tierra que es el Este. Cuando pasas el centro te pegarías al lado Oeste porque el radio aumenta.

  • Jose Piñeiro dice:

    Una pequeña preision en tu explicacion.

    Cuando bajas por el pozo y te encuentras, por ejemplo, a un tercio del centro de la tierra podemos suponer que la tierra que hay encima de ti no “tira” nada.

    Si, por un momento, depreciamos la esfera que tenemos debajo (1/3 de la de la tierra) podemos decir que estamos en una esfera hueca. Como bien has explicado esta esfera no tiene influencia gravitatoria alguna, por lo que podemos olvidarnos de ella.

    Lo unico que nos afecta es la esfera, con centro en el centro de la tierra y radio la distancia entre el centro y nuestros pies.

    Conforme bajamos esta esfera es mas pequeña, y por tanto la gravedad es inferior.

    A todos los efectos es como si estuvieramos en un planeta mas pequeñito.

    La explicacion que tu sugieres es valida, pero quizas menos intuitiva.

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