CPI (Curioso pero inútil)

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Consultorio CPI: El triángulo misterioso

No, no vamos a hablar del triángulo de las Bermudas ni ninguna otra patochada paranormal. Se trata de algo más simple. Juan nos pregunta:

Buenas, lo que os propongo no sé si es del todo una consultoría pero ahí va…

Hace mucho tiempo navegando encontré la página de acertijos.net y de todos los que había me llamó la atención este por lo simple que parece: http://www.acertijos.net/aberran3.htm . Pues bien, no tengo ni idea de porque ocurre y como tiene que ver remotamente con trigoniometría pues os lo pregunto a vosotros para ver si me lo podeis aclarar.

Gracias.

Lo consideramos consultoría, Juan, sin duda. Para empezar, echemos un vistazo rápido a las imágenes. El triángulo original es el siguiente:

error3a.gif

Si reordenamos las piezas, aparece un misterioso agujero:

error3b.gif

Mirando las piezas una a una parece que son exactamente iguales. Y, efectivamente, lo son. ¿Dónde está el fallo entonces?

Pues está, sutilmente agazapado, en la hipotenusa del triángulo. Antes de desvelar el secreto, repasemos un sencillo concepto matemático que todos recordamos: la pendiente de una recta (su inclinación, vaya). La pendiente se puede definir como “lo que sube la recta en un intervalo, dividido por lo que avanza la recta en ese intervalo”. Cuanto más alta sea la pendiente, más inclinada hacia arriba estará la recta. Pues ahora estudiemos las pndientes de ambos subtriángulos, el azul y el rojo.

Fijémonos en el triangulillo rojo. Tiene tres cuadrados de alto y ocho de ancho,. Por tanto, la pendiente de su hipotenusa es de 3/8 (0,375). El triangulillo azul, por el contrario, tiene dos cuadrados de alto y cinco de ancho. La pendiente de su hipotenusa es de 2/5 (0,4). Esta pequeña diferencia de pendientes es la clave. El triángulo azul es más inclinado que el rojo, aunque no lo parezca. Cuando vemos el dibujo parece que la hipotenusa del triángulo completo es recta, pero en realidad no lo es. Hagamos un dibujillo servilletero de bar™ exagerando las diferencias:

bar-triangulos-2.jpg

¡Y ése es el misterio! Una hábil reordenación de las piezas hace que el área que parece faltar en un sitio esté en realidad en otro, pero el área total del triángulo se conserva. Lo que ocurre es que no somos capaces de verlo a ojo, porque las diferencias son sutiles.

22 comentarios en “Consultorio CPI: El triángulo misterioso

  • Augusto dice:

    Buena explicación. Lo malo es que no podremos ponerles el acetijo a loa amigos, porque enseguida se vendrán a CPI y darán la respuesta sin pensar… :-)

  • josemi dice:

    Recuerdo haber visto este problema en una “muy interesante” o “algo” alla por el año 80 y tantos (yo era muy pequeño por aquella epoca), asi que se puede decir que este problema es mas viejo que la orilla del rio.

    La clave del engaño son dos teoremas bien conocidos por todos aquellos que han hecho dibujo tecnico con tinta:

    1º Teorema del punto gordo: por un punto pueden pasar infinitas rectas parelelas si este punto es suficientemente gordo

    2º Teorema de la recta astuta: un recta puede pasar por tres puntos no alineados, si dicha recta es suficientemente astuta

    La clave es que la hipotenusa es una recta astuta y ademas muy gorda, esta mal hecha a proposito para que parezca una recta cuando en realidad los puntos no forman una recta. Si se hace el dibujo con un trazo normal, se ve claramente el truco.

  • Ignacio dice:

    ¿El tríangulo que en la segunda imagen está abajo a la izquierda lo veis azul? Pues yo lo veo verde…

  • Adama dice:

    Muchas gracias Remo!!!

    No lo habría visto en la vida. Mira que me lo había remirado veces pero no lo sacaba. Lo jodio es que ahora siempre que miro la hipotenusa la veo torcida 😉

  • Remo dice:

    Josemi: conocía el teorema del punto gordo pero no el de la recta astuta. ¡Qué bueno! Aún me estoy riendo.

    Adama: A mandar :)

  • e-milius dice:

    Vaya…yo dando pistas en el foro, y la solución ya la teníais publicada aquí. :(

    Por cierto, Remo, el teorema de la recta astura (yo lo conocía por “recta lista”) es básico para el dibujo técnico. Es más… si la recta el suficientemente lista, incluso en un dibujo a lapiz fino puede colar. Todo consiste en que no tenga vértices, sino una curva amplia :-)

    Saludos,

  • Sadoc dice:

    también podeis probar a poner una regla, o un folio o algo recto en la pantalla, alineado con la hipotenusa, y veis la diferencia

    PD: yo tampoco lo veo azul, lo veo más bien color turquesa de ese

  • ChAoS dice:

    Oh que buena explicacion , y muy bueno el acertijo!! Lo vi hace unos años y desistí de buscarle una explicacion. Y hoy ya la tengo (weee!).

    Esto me recuerda una serie de libros my buenos llamados AJA! en los que habian acertijos de diferentes areas de las matematicas : algebra, geometria, logica… Muy recomendables!

  • Adama dice:

    e-milius, es que no leemos 😉

    gracias por las pistas, pero Remo justo en la respuesta de antes en el foro me confirmó que ya la había respuesto en el blog.

  • honolulu dice:

    Es bastante curioso, llevo un rato mirando las figuras y me parecen iguales, no consigo apreciar la diferencia. Probaré a hacerlas en papel milimetrado a ver si lo veo más claro. Por otro lado, ¿esto puede explicar por qué cuando aparcamos en fila, el coche cabe si lo metemos de culo y no hay manera si lo intentamos de frente?
    Saludos.

  • Adama dice:

    Honolulu: No tiene nada que ver lo del coche con los triangulos. En el caso de los triangulos si te ayudas de un folio y lo pones en la hipotenusa del triangulo rojo de la primera figura, podrás ver una punta del triangulo verde, cosa que sería imposible si la hipotenusa del triangulo grande fuera recta. En realidad no es un triangulo, ya que la hipotenusa está compuesta por dos rectas diferentes.

    En la figura de abajo si pones el folio de punta a punta de la hipotenusa podrás apreciar que no es una recta sino que son dos unidas.

    Lo del aparcamiento mejor lo pones en el foro ya que se te podrán poner imagenes más ilustrativas.

  • honolulu dice:

    Adama,gracias, comprobado. Lo hice en papel milimetrado. En la pantalla me costó un poco más, pero finalmente pude verlo. La diferencia es poco marcada si no la buscamos.
    Ya expondré la pregunta en el foro cuando me registre.
    Por cierto, ¿tu nick está relacionado con la serie de los ochenta, Galactica?

  • Adama dice:

    Comandante Adama para servirle!! estoy esperando a que regresen Starbuck, Boomer y Apolo de una misión. Sobretodo pa que me deje en paz el niño este con su perro-robot mufitt 😉

    Como habrás adivinado, sí. Si te gustaba, ahora estan haciendo la nueva serie Galactica y está muy bien.

  • Miguel Ángel dice:

    El cálculo del área sería:

    Área del triángulo rectángulo hipotético = 13×5/2 = 32,5 cm^2

    Área del cuadrilátero del dibujo: 7 (naranja) + 8 (verde lima) + 8×3/2 (rojo) + 5×2/2 (verde oscuro) = 32 cm^2

    Diferencia de áreas = 32,5 – 32 = 0,5 cm^2

    La diferencia que hemos calculado anteriormente es la que se produce entre el triángulo rectángulo y el cuadrilátero cuyos lados caen por debajo de la hipotenusa.

    La diferencia de áreas entre los dos cuadriláteros es otro cuadrilátero de lados paralelos (paralelogramo), ya que las pendientes de los triángulos verde y rojo se mantienen.

    Así pues, el área de este paralelogramo es el doble de la diferencia de áreas que calculamos antes (era el área entre sus 2 lados y su diagonal) = 0,5 x 2 = 1 cm^2, el mismo que corresponde al cuadrado blanco.

  • Alcyone dice:

    wuoooooo…sin duda muy interesante…había visto ese acertijo muchas veces pero nunca supe a qué se debía…muchas gracias!!:D me gusta mucho la página, sigan así!!

  • karlitos dice:

    Para los que hicieron Dibujo Técnico, a mi la ley que más me gustaba era:

    “Bienaventurados los abatidos, porque sólo ellos verán la verdadera dimensión”

    😛

    genial la página!

  • Eloy dice:

    Ignacio: Es un azul verdoso y un verde azulado. Para mí es verde levemente azulado, pero está comprobado (dónde no sé, pero eso me han dicho :P) que no toda la gente ve igual el mismo color. Para algunos es más verde que azul y para otros más azul que verde.

    Pero para sacarme la duda, analicé la imagen: El color en cuestión es #009568; es decir 149 partes verdes contra 104 partes azules. :)

  • Mathvega dice:

    El problema se relaciona también con la serie de Fibonnaci. Se habrán dado cuenta que las cantidades que intervienen son números consecutivos de la famosa serie… 1, 1, 2,3,5,8,13 , 21,34,55,89…. Si se reemplazan los valores por otra serie de cinco valores consecutivos de Fibonnaci sucede que para algunos valores falta un cuadrado y para otros sobra un cuadrado, para verificarlo sólo hay que jugar un poco con la descomposición del rectángulo. Lo interesante es que la ausencia o exceso del cuadrado no es aleatoria, sino que alterna al revisar la serie en forma ordenada, es decir, partiendo con 1-1-2-3-5, luego 1-2-3-5-8, 2-3-5-8-13, 3-5-8-13-21, etc.

  • Enrique dice:

    La explciación más sencilla es que en este caso se está usando el teorema del punto gordo: por un punto pasan infinitas rectas paralelas, siempre que sea lo suficientemente gordo. 😉

  • […] CPI hace mucho hablaron del tema, aquí la solución. (Gracias Sebaforest) | Comenta o¡Salta! […]

  • mathvega dice:

    Análisis completo y general del problema en

    mathvega.blogspot.com

    están los respectivos enlaces y menciones a CPI …

  • Airelav dice:

    ummm muy bueno, yo el triangulo lo veo muy verde xD

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