CPI (Curioso pero inútil)

Consultorio CPI: La forma de un half pipe

2 de marzo de 2006

Rim nos pregunta (hemos traducido tu correo del lenguaje SMS al castellano, espero que no te importe, Rim ):

Buenas a aquellos que están al otro lado. Tengo una pregunta que no sé si es inútil pero cuanto menos es curiosa. ¿Cuál es la forma concreta de la curva esta de los skate park? Sí ésta que hace como una “U”. Pregunto porque hoy mi profesora de matemáticas ha insinuado que tiene una forma concreta y estudiada, es decir, que no está hecha al azar, y yo que no sabía dónde acudir a prguntar, pues me acordé de vosotros. Ésa es mi pregunta y a ser posible también el porqué. Y de la forma más sencilla que con 16 añitos no doy para mucho, jeje. Bueno, un beso y un saludo y gracias por esas horas que paso descubriendo cosas con vosotros.
PD: Disculpen las faltas ortográficas, pero son las 23:14 y no tengo ganas de ponerme a escribir correctamente, qué malos son los móviles :-p

Pues tu pregunta me parece curiosísima. Pero me temo que no hay demasiado misterio detrás. Half pipe significa en inglés “media tubería”. Supongo que porque los primeros patinadores que empezaron a hacer acrobacias con un patinete utilizaron lo que encontraban por ahí. ¿Y cuál es la forma de media tubería? Pues media circunferencia, claro está. Ahí tienes la forma de tu half pipe. Los bordes elevados tienen forma de un cuarto de circunferencia. Posteriormente se añadió una parte recta en el centro para dar tiempo a preparar la siguiente acrobacia.

Si buscas en Google cómo fabricarte tu propio half pipe, hay algunas páginas que te dan planos más o menos detallados. En uno de estos planos [.png, 2,12 MB] se aprecia claramente que la forma es de un arco de circunferencia:

Veámoslo con un poco más de detalle:

Se puede apreciar claramente que los apoyos de madera son en realidad radios de una cirunferencia. Como los apoyos son perpendiculares a la estructura de la rampa (para evitar momentos y maximizar la resistencia), concluimos que la rampa es circular.

También el snowboard ha heredado esta forma para sus half pipes. Actualmente hay una empresa (Pipe Dragon) que hace casi todos los half pipes de nieve en acontecimientos importantes. Hicieron los half pipes de los JJ.OO. de Nagano, de Salt Lake City y de Turín. Para hacer un half pipe, primero excavan una ruta rectangular en la ladera y luego le repasan los bordes con el Pipe Dragon:

Se ve que el brazo que usan para dar forma a los bordes de la pista tiene forma de cuarto de circunferencia:

Y además lo dicen en las especificaciones de su máquina: tienen brazos de 12 y 17 pies de radio. Si sólo dan el radio, es que es una circunferencia.

Pero esta pregunta de Rim me sugiere unas cuantas ideas, todas ellas CPI. ¿Por qué es una forma de medio círculo? Yo lo tengo claro, empezó siendo medio círculo porque era lo que había (restos de grandes tuberías), y ha seguido siéndolo por “tradición” y porque es más fácil de construir. Pero hay otras posibilidades.

Para examinar la primera de ellas, tenemos que remontarnos al año 1696. Ese año Johann Bernoulli publica un “desafío” en Acta Eruditorum. Se trata de hallar una curva sobre la que una pelota tarde el menor tiempo posible en deslizarse desde un punto A hasta un punto B, actuando sólo la gravedad. Se le llamó el problema de la Braquistocrona, del griego “el tiempo más corto”. Galileo había hecho la hipótesis de que esta curva era un arco de circunferencia, pero estaba equivocado. Cinco matemáticos resolvieron el problema: Newton, Jacob Bernoulli (hermano de Johann), Leibniz y L’Hôpital, además del propio Johann Bernoulli. La solución es que el recorrido sea un trozo de cicloide. ¿Y qué es una cicloide? No pondré la fórmula, pero sí una imagen ilustrativa: la cicloide es la trayectoria que sigue un punto situado en el borde de una rueda cuando ésta gira sin deslizar:

Si le damos la vuelta a la cicloide, quedará una especie de cuenco. Una canica dpositada en este cuenco, fuera del centro, tardará exactamente lo mismo en llegar al punto más bajo, independientemente de a qué altura la dejemos (¡!). Se trata del problema de la tautocrona (igual tiempo), resuelto por Huygens.

Imagen del museo Mathematikum, el primer museo de las matemáticas del mundo, en la ciudad de Gießen, Alemania. La rampa azul consta de una línea recta y una braquistocrona. La bola que cae por la braquistocrona cae antes que la de la línea recta, a pesar de que recorre más distancia. En la rampa roja hay dos carriles. Es una tautocrona. Si se colocan dos bolas a diferentes alturas llegan a la parte de abajo al mismo tiempo. La bola que está más arriba recorre mayor distancia pero alcanza mayor velocidad porque la pendiente es mayor.

Actualización: Odo (¡gracias!) nos manda una animación estupenda sobre tres canicas oscilando en una curva tautocrona, con diferentes amplitudes. Se aprecia cómo los periodos son los mismos para las distintas amplitudes:

Volviendo a las cicloides, si el punto no está en el borde de la rueda, sino en el interior, tendríamos una cicloide ~~contraída~~ reducida (en el cole me dijeron que se llama hipocicloide, pero ahora no estoy muy seguro). Actualización Pues no se llama hipocicloide, sino cicloide reducida. Véase este comentario de Dani (¡gracias!):

¿Qué tiene esta nueva curva de especial: Pues que la forma de la caja de resonancia de los violines está hecha con secciones de ~~hipocicloides~~ cicloides reducidas. Ahí es nada.

Una última curva especial, sobre la que Patxi y Masgon me han hablado más de una vez: la catenaria. Cuando colgamos un cable de dos puntos, éste se curva por su peso: Galileo supueso (de nuevo, incorrectamente), que el cable adoptaba forma parabólica. En realidad, es un coseno hiperbólico. Esta curva tiene la ventaja de que si se la invierte aparece un arco que no tiene ninguna tensión transversal. Gaudí, de nuevo Gaudí, la utilizó profusamente.

Esquemilla de un puente con cables colgantes en forma de catenaria.

Como dato CPI, en el argot de los trenes se llama la catenaria a todo el conjunto de alimentación eléctrica: los cables (que esos sí tienen forma de catenaria), las torres que sostienen los cables y toda la pesca. Pero a los de la RENFE (Rogamos Empujen Nuestros Ferrocarriles Estropeados) se les puede perdonar cualquier sinécdoque, qué demonios.

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Entrada escrita por Remo el 2 de marzo de 2006 a las 9:05 am.
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Hay 36 comentarios en “Consultorio CPI: La forma de un half pipe”

Julio dice:
2 de marzo de 2006 a las 8:30 am
Oh! si, que recuerdos de ir a la universidad, y por megafonía del tren te dijeran que la catenaria estaba estropeada, y que te fueras en autobús.

(0)
odo dice:
2 de marzo de 2006 a las 8:46 am
Muy interesante, especialmente la relación con otras curvas como la cicloide y la catenaria.

Sabía que la cicloide era la braquistócrona, pero nunca había oído lo de la tautócrona. He estado buscando, porque me parecía una propiedad poco intuitiva y me he encontrado con un enlace que tiene una representación gráfica que aclara lo que sucede:

http://www.mathcurve.com/courbes2d/tautochrone/tautochrone.shtml

(0)
Misslucifer dice:
2 de marzo de 2006 a las 9:34 am
Interesante, a mi todo esto me suena a nuevo (que no a chino porque está muy clarito)… Que pena no haber podido estudiar letras y ciencias a la vez

(1)
Anonymous dice:
2 de marzo de 2006 a las 11:23 am
Aquí un roller que se va al skatepark del Gulliver (en el viejo cauce del río Túria, en Valencia) y le ha hecho especial gracia la entrada.

Por cierto, a los amigos a los que ayudo a tirarse por las rampas, les digo que nunca se echen para atrás (por miedo a caerse) y que traten de estar siempre perpendiculares a la tangente de la curva por la que pasan. ¿Lo digo bien o estoy metiendo la gamba con esa explicación :$?

Un saludo

(-2)
lafundacion dice:
2 de marzo de 2006 a las 11:40 am
Esto me ha recordado al dicho:

‘No es importante saber la solucion a un problema, sino saber el telefono del que sabe la solucion…’

(0)
Caronte dice:
2 de marzo de 2006 a las 12:01 pm
Fascinante lo de la canica y las rampas :-O

(0)
GonZo dice:
2 de marzo de 2006 a las 12:04 pm
llevo mucho tiempo leyendo esta pagina y cada dia me sorprendeis mas!!! seguir asi!!!
lo de la bolita q llega a la vez me ha llegado al alma!!!

(-1)
Orlok dice:
2 de marzo de 2006 a las 1:52 pm
Muy interesante el articulo, por otra parte, me fastidian los anglicismos innecesarios, pero viene a cuento, porque yo en mi epoca adolescente tambien era Skater, ademas de interesarme las ciencias, y en esa epoca (hace mas de 15 años) le llamabamos U a secas, ni Half Pipe ni leches, aunque sabiamos perfectamente (por las revistas de Skate) que en los paises de habla inglesa lo llamaban Half Pipe, pero como “lo mas Cool es se Snob”… pues alee… ahora es Half Pipe para todo bicho viviente

(-2)
Alex dice:
2 de marzo de 2006 a las 2:00 pm
Voy a proponer al Vaticano que comience vuestra canonización. Pedazo de explicación que os habéis currado para alguien que, por lo visto, ni se molesta en escribir bien diez líneas de texto para hacer la pregunta.

De mayor quiero ser como vosotros

(-1)
Sender dice:
2 de marzo de 2006 a las 3:37 pm
La ostia de post!!!!
No sabia yo lo de la canica en la cicloide, jeje

Saludos!

(-1)
Orlok dice:
2 de marzo de 2006 a las 4:17 pm
Por cierto, lo voy a linkar desde mi web, porque ya es la 2ª vez que lo leo a dia de hoy, ya lo estoy buscando montones de utilidades para mis locuras

(-3)
Patxi dice:
2 de marzo de 2006 a las 5:23 pm
¡Alucinado me has dejado!

Que gran calidad de post. Lo de la Braquistocrona ya lo conocía, pero me he quedado de piedra con la TAUTOCRONA!

Me parecen que me voy a escapar a Giessen a jugar con la Tautocorna famosa.

Genial el post, genial las animaciones y geniales las imágenes.

Te mereces matrícula de post!

PS1: ¿Cuanto tiempo te ha costado la traducción del SMS al Castellano?

PS2: Pequeña corrección ingenieril civil. No todas las tuberías son de sección circular. De hecho, (casi) todas las calles del mundo civilizado tienen unas tuberías muy importantes con secciones muy divertidas como una campana con un triangulito abajo y otras frikadas, con formas muy optimizadas para su función. Sin esas tuberías, aún tendríamos la peste y muchas otras enfermedades: ¡Tus amigas las alcantarillas!

(0)
Nelor dice:
2 de marzo de 2006 a las 5:28 pm
Mooola!! Ya tengo ganas de construir un tobogán con forma de cicloide y retar a los colegas a ver quien es el listo que llega antes abajo!

Por cierto, comentando ya fuera de Post (para que Orlok no me diga nada sobre el Off topic) y en relación al post del test para saber qué extensión eres, hago la siguiente pregunta:
¿Para cuando una extensión .cpi? ¿existe? ¿qué tipos de archivos son más curiosos pero inútiles?

Nelor

(0)
Fran dice:
2 de marzo de 2006 a las 5:59 pm
Genial el artículo del half pipe, de lo mejor.

Para el que quería la extensión CPI:

http://filext.com/detaillist.php?extdetail=cpi&Search=Search

Saludos

(-1)
Remo dice:
2 de marzo de 2006 a las 9:37 pm
Patxi, sabía que aportarías chicha al asunto. Creo que te he dado una idea para un futuro post… La traducción SMSiano-Castellano duró unos 4 minutos. Pero no importa, cuando Rim pide perdón se le perdona y ya está.

(2)
mikel dice:
2 de marzo de 2006 a las 10:35 pm
Este blog es de uso obligado entre mi alumnado bilbaino y día a día lo bordáis. Zorionak bihotz-bihotzetik

(-1)
Aldebarán dice:
2 de marzo de 2006 a las 11:10 pm
Me he quedado pasmado recordando y anudando recuerdos de la parte de mate y dibujo técnico.

El tema de la catenaria invertida ¿qué relación tiene con el paraboloide hiperbólico que trataron en el post de la patatita frita?

¡Es que se me olvida cada cosa!

Felicidades por el post.

(0)
Lther Blissett dice:
3 de marzo de 2006 a las 12:22 am
Plas, plas, plas, plas,…

(-1)
Agnes dice:
3 de marzo de 2006 a las 6:53 am
¡Bravo!

(4)
e-ness dice:
3 de marzo de 2006 a las 8:17 am
Muy bueno este, como todos los demás

Casi no os habéis dejado nada fuera, pero se me ha ocurrido una cosa curiosa que me comentaron hace tiempo: sabíais (seguro que sí) porqué la curva catenaria existe en cualquier cable telefónico, eléctrico, etc, colgado por sus extremos? Es decir, porqué no instalan los cables tensando hasta que queden rectos?
Debido al peso del cable, es imposible deshacer la curva catenaria que queda tensando más y más. Dependiendo de las caraterísticas (peso, resistencia, etc), el límite está en un punto u otro, pero si tiras y tiras intentando que se quede recto, el cable termina partiéndose, debido a que la fuerza aplicada para tensarlo, y la fuerza de la gravedad, actúan en sentidos opuestos (más o menos).

(0)
Orlok dice:
3 de marzo de 2006 a las 11:05 am
Nelor, ¿nos conocemos? no entendi eso del OffTocpic, no dije nada

(0)
Diego G. dice:
3 de marzo de 2006 a las 5:23 pm
Espectacular artículo. CPI del bueno, jugoso y abundante. Así da gusto.

(0)
Wiskis dice:
3 de marzo de 2006 a las 6:24 pm
Me parece que los relojes de péndulo se basan en la propiedad de tautocronía de la cicloide.

Me apoyaré en esta imagen:

http://www.flickr.com/photos/66246544@N00/107276809/

Si tenemos un péndulo que soltamos desde un determinado ángulo, el tiempo que tarde en recorrer cada ciclo dependerá del ángulo con que lo soltemos.

Pero si ponemos un trozo de cicloide en el punto de sujeción del cordel del péndulo (ver imagen) entonces la cuerda iría “rodando sin deslizar” sobre la cicloide (cuando la cuerda se desenvuelve es como si rodase). Gracias a ello, el tiempo que tarda el péndulo en recorrer un ciclo es independiente del ángulo alfa inicial con que lo soltemos.

Así, tenemos un aparato que siempre tarda el mismo tiempo en recorrer un ciclo, independientemente de las condiciones iniciales, y podemos medir con él el tiempo.

Muy interesante el artículo, un saludete!

(-2)
Dani dice:
3 de marzo de 2006 a las 8:31 pm
Antes que nada mis más sinceras felicitaciones, es mi primer comentario y quería agradeceros todo lo que haceis ^^.

Quería comentarios (no se si ya os lo han dicho, si es asi perdón), que la cicloide cuyo punto está entre el borde y el centro se llama “cicloide reducida”, si lo está “fuera” se llama “cicloide alargada”.

Luego están, entre otras:

La epicicloide (o epicicloide normal) es la curva plana que describe un punto fijo de la circunferencia generadora cuando rueda sin resbalar por el exterior de una circunferencia directriz. (Si el radio de la cirfunferencia generatriz coincide con el de la “generadora” genera una cardiode).

La hipocicloide (o hipocicloide normal) es la curva plana que describe un punto fijo de la circunferencia generatriz cuando rueda sin resbalar sobre el interior de una circunferencia directriz.

Lo digo por lo siguiente “Volviendo a las cicloides, si el punto no está en el borde de la rueda, sino en el interior, tendríamos una cicloide contraída (en el cole me dijeron que se llama hipocicloide, pero ahora no estoy muy seguro):”

O eso al menos viene en mi libro de dibujo técnico ^^¡

Un saludo y de nuevo, gracias .

(-3)
Remo dice:
4 de marzo de 2006 a las 7:35 am
Dani, muchísimas gracias a ti por ampliar la información . Lo corrijo.

(-2)
omalaled dice:
4 de marzo de 2006 a las 10:16 pm
Solo un detalle, Remo, ante este genial post. Es cierto que la catenaria se forma cuando suspendes un cable entre dos puntos y lo confirma el mismo peso del cable. PEro si encima de ese cable ponemos cargas uniiformemente repartidas, es entonces cuando el hilo adopta una forma parabólica.

Lo que hacia Gaudí era poner cuerdas y las cargas al reves (hacía la catedral boca abajo con todas sus cargas). De esta manera todo trabajaba a tracción. Si a esto le das la vuelta, todo trabaja a compresión y ahí se podía poner cualquiera de los materiales que usaba.

Pero (que me lo confirme Patxi si sabe de ingeniería civil), los arcos de las construcciones se hacen en forma de parábola (insito, por las cargas uniformemente repartidas). Yo lo he interpretado así del libro “Resistencia de Materiales” de Luis Ortiz Berrocal. Todo un clásico.

Un cordial saludo

(-1)
Remo dice:
5 de marzo de 2006 a las 10:05 pm
omalaled:

hummm… En esta página dan el ejemplo de deducción de la catenaria precisamente con cargas distribuidas a lo largo de un hilo. Y sale un coseno hiperbólico, no una arábola. Pero, en efecto, es Patxi el que sabe de esto. Saludos,

(-4)
omalaled dice:
5 de marzo de 2006 a las 11:15 pm
Mírate esta otra: http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/rc-79/rc-79.html

Sobre todo el párrafo que te copio:

“La catenaria es la curva que adopta un cable sostenido por sus extremos debido a su propio peso. Por otro lado, la curva que adopta el cable es una parábola cuando, despreciando su propio peso, es una carga uniformemente distribuida la que soporta. En el puente colgante, los cables, además de su propio peso, tienen que soportar el de la plataforma. Por ello, la forma exacta que adoptan los cables es una “combinación” de la catenaria y la parábola. La diferencia entre ambas curvas es muy pequeña. De hecho, los ingenieros suponen en sus cálculos que es una parábola, dada la simplicidad de su ecuación frente a la ecuación de la catenaria.”

Salud!

(0)
Remo dice:
6 de marzo de 2006 a las 9:41 am
Pues me he hecho todos los calculillos del primer ejercicio de la página que puse y me sale lo mismo. No sé qué calculos habrá hecho el de la tuya, pero no estaría nada mal comprobarlo. ¡Patxi! ¡Help!

(-2)
Patxi dice:
6 de marzo de 2006 a las 6:18 pm
Long story short…

Si la curva soporta su propio peso, es decir, una unidad de carga repartida por unidad de longitud del cable, la forma resultante es efectivamente una catenaria, también conocido como coseno hiperbolico ( imponiendo la condición de que el cable solo soporta tracción, no flexión).

Ej: Una cadena pesada o cable que no sporta tracción toma una forma de catenaria. O el cable de poste a poste telefónico.

La parábola es la solución cuando… se asume que el cable (otra vez sólo tracción, nada de flexión) tiene una masa despreciable, cero, frente a una carga a soportar distribuida uniformemente respecto a la dimensión horizontal(x).

Horizontal y no por unidad de cable. ¡Ésta es la diferencia entre las dos soluciones!

Ej: Si tenemos un puente colgante, el peso por unidad horizontal del tablero es constante y mucho mayor que el del cable. En este caso el peso del conjunto por unidad de longitud del cable no es constante, ya que la pendiente del cable varia. La forma “óptima” para soportar cargas equidistantes en la horizontal es una parábola.

En la realidad las cosas se complican y entran las combinaciones de cargas, los puentes no horizontales puros (ej tablero del Golden Gate tiene curva vertical muy apreciable) y otras maravillas de la ingenieria.

¿Queda claro?

Otro pequeño detalle, para cuando la curva es muy plana, como una catenaria de tren, la parábola y la catenaria son prácticamente idénticas. (ver serie de potencias del cosh, empieza con x^2) Solamente cuando la pendiente empieza a subir, las curvas empiezan a diferir significativamente.

Ej final: Cadena sujeta por puntos próximos, no se parece en nada a una parabola. Si los puntos estan muy separados y la cadena está casi horizontal, sí se acerca a una parábola

Reflexión final: ¿por qué me acuerdo de todas estas cosas de la carrera?

(-1)
omalaled dice:
6 de marzo de 2006 a las 10:31 pm
¿Que por qué te acuerdas, Patxi? Porque eres un crack

Por cierto, yo recordaba que era parabólico porque vi un puente de un solo arco de hormigón en Oporto, cerca de la desembocadura del Duero cuando era niño y quedé totalmente alucinado de su magnitud.

Era el puente da Arrábida que tiene el arco de hormigón más grande del mundo. Tenéis fotos aquí: http://amen13.no.sapo.pt/Album-Pontes/slides/001-Ponte%20da%20Arrabida%20(1).jpg

y aquí:

http://dolphin.c.u-tokyo.ac.jp/~kuno/jpg/pt08.jpg

De mayor me interesé mucho en saber qué tipo de curva era aquella, pues tenía que trabajar toda a compresión (claro, es de hormigón). Nada Patxi, que esto seguro que lo sabías

Un cordial saludo a ambos

(-2)
Mongo dice:
7 de marzo de 2006 a las 10:20 pm
Me ha gustado mucho el articulo. La parte mala eran las fórmulas.

(-2)
rodrigo dice:
10 de marzo de 2006 a las 3:32 am
Estimados (i)responsables de CPI. Con este tema de las curvas me ha vuelto a rondar un interrogante sobre la catenaria que nadie me pudo responder(bueno, tampoco pregunté mucho…). ¿A qué distancia hay que sostener los extremos del cable para que se forme la curva? O dicho de otro modo: es una familia de curvas con distinta abertura (como las parábolas, por ej.), o sólo se forma a cierta distancia en la que situemos dichos extremos. Creo que es un interrogante que califica ampliamente para la i, aunque no sé si para la c del título de vuestro divertido blog. Chas gracias.

(1)
Remo dice:
10 de marzo de 2006 a las 6:22 am
Rodrigo: La respuesta es sencilla. Siempre se forma catenaria. Cuanto más separados est-en los extremos del cable comparados con la lingitud del mismo, más plana saldrá la catenaria. Pero siempre será una catenaria. Es una familia de curvas de la forma A*cosh(Bx+C)+D, (cosh es coseno hiperbólico) o sea que hay multitud de parámetros para modificarlas según la longitud del cable y la separación de los extremos sin que dejen de ser catenarias.

(0)
Deffan dice:
10 de marzo de 2006 a las 9:03 am
Volviendo a la braquistocoma y la U. No creo que fuese buena idea poner una braquistocoma en vez de un cuarto de circunferencia en la U. Al igual que se baja en menos tiempo, se subiría en menos tiempo, pero al llegar arriba… no lo haríamos con menor velocidad? La normal es mayor en esta curva, no?

(-4)
CPI (Curioso pero inútil) » Blog Archive » Violines dice:
25 de mayo de 2006 a las 7:20 am
[…] Más curiosidades violinísticas. La forma de la caja de un violín, las curvas que delimitan su contorno (no el lateral, sino la curvatura de las tapas superior e inferior), son cicloides reducidas. Ya hablamos de ellas una vez, en un artículo relacionado con los patinetes (hay que ver lo conectadas que están las cosas). En trando en un foro de violines, descubrí que hay programas especializados en trazar arcos de cicloide reducida para fabricar violines. Si es que en todos lados hay de todo. […]

(-3)