Estimado lector, me juego el apéndice a que tiene usted al menos un remolino en la cabeza. Así de fuerte comienzo la apuesta. El motivo de mi seguridad no es otro que, como el título de esta entrada preconiza, un teorema matemático claramente CPI.
Para empezar, un poco de sobre los campos. Un campo escalar es una función que a cada punto del espacio le asocia un número. Un ejemplo: una función que a cada punto de una habitación le asigne un valor de temperatura. Un campo vectorial, en una de sus acepciones matemáticas, no es más que una función que a cada punto del espacio le asocia una dirección (un vector, para ser más exactos). Como ejemplo, una función que a cada punto del planeta Tierra le asocia una dirección del viento (con su correspondiente velocidad).
Pues bien. El teorema que hoy nos ocupa afirma (y demuestra, porque si no no sería un teorema) que es imposible establecer un campo vectorial sin ceros sobre la superficie de una esfera. Es decir, que si a cada punto de una esfera le asignamos un vector, entonces, por narices, hay al menos un punto en los que ese vector no cabe y tiene que estar «apuntando al cielo». Media esfera es el equivalente topológico a una esfera completa a la que se le ha quitado un punto, por lo que matemáticamente ya no existe la seguridad del pelo de punta. De aquí sacamos dos datos CPI:
1.- Como los pelos de nuestra cabeza pueden asimilarse a vectores, hay habitualmente al menos un pelo en nuestra cabeza que no podremos peinar, pues siempre saldrá perpendicular al cuero cabelludo. En realidad, suele ser más un mechón que un único pelo, pero el teorema sólo garantiza que al menos habrá uno. Los pelos de alrededor podrán tener forma de espiral o salir radialmente, pero ahí estará nuestro remolino. Los chicos podemos tener otro remolino más en la barba (las chicas también, pero eso es otra historia)
2.- En todo instante hay al menos un punto en el planeta donde el viento está totalmente en calma.
3.- Si nuestra cabeza tuviera forma de donut (uf), no tendríamos necesariamente un remolino. Sí es posible establecer un campo vectorial continuo sobre un toro (nombre técnico del donut).
PD: Los calvos, o, en jerga moderna, los capilarmente desaventajados, han de modificar mi primera afirmación y leerla como sigue: Estimado lector, me juego el apéndice a que tuvo usted al menos un remolino en la cabeza.
Y lo feo que queda el remolino en la barba de una mujer…
Hombre, también está la opción de la clásica «raya en medio o en el lado». A ambos lados, los pelos salen apuntando en el sentido contrario que el que tiene al lado, pero tampoco se forma ningún remolino.
Yo antes si tenía remolinos, ahora con el pelo largo tengo raya en medio.
Un gran post, no obstante 😉
criptobug, el hecho de peinar el pelo no afecta al hecho de que haya un remolino. Sigues teniendo remolinos, pero como el pelo es largo ya no se ven. El remolino es a causa de la dirección en la que sale el pelo, no en la que lo peinas cuando está largo…
Uf, la PD te ha salvado de mi ira sarcástica, 😛
Claro que a mí el pelo me llega a la cintura y si tiene remolinos están bajo la maraña inmensa que es mi cabeza.
Un día tenéis que explicar la extraña forma de caracolillos alternos que tienen los pelos del pecho (al menos los míos).
cierto… lo tuve. :’-(
Muy buena … esta sí que es CPI 😀
Saludos
Pero podría ocurrir que a alguien (ya te digo que a mi no, pq yo antes si tenía) le saliera el pelo a ambos lados de una raya en medio, ¿no? Se que seguramente no habrá nadie en esa situación, pero ¿no podría ocurrir?
Mirémoslo sobre la media esfera, a ambos lados de una línea podría organizarse de esa forma el campo. El teorema se seguiría cumpliendo ya que cada punto de la línea sería una singularidad, pero no habría remolinos. ¿No?
Criptobug, si en media esfera peinas el pelo con raya en medio, y a esa raya le llamas ecuador, entonces en los dos polos te aparecen además dos remolinos (todos los pelos apuntan radialmente hacia esos dos puntos). Sí es cierto que en media cabeza puede no ocurrir lo de los remolinos, pues no es esférica. En ese caso, como tú dices, en vez de tener una singularidad simple (un punto singular=remolino), tendríamos una singularidad degenerada (infinitos puntos=raya). Así que acepto la corrección. ¡No le deseo a nadie que el pelo le crezca con raya en medio!, sería algo muy curioso de ver…
Tienes razón, n me había dado cuenta de los remolinos en los polos.
En cuanto a lo de la raya enmedio… bueno, yo hace años tenía el pelo largo y me lo corté… y durante un tiempo anduve con la raya en el centro por la tendencia adquirida a lo largo de mucho tiempo (era para verme…). Luego pasó el tiempo y volví con mis remolinos… y luego otra vez con el pelo largo maquillando los remolinos.
Bueno, en definitiva, que es un gran post 🙂
mi remolino esta justo donde empieza a aparecer el pelo por la frente asique podeis imaginar lo complicado q es de peinar, solucion, no peinarse:) o dejarse el pelo largo, pero en este ultimo caso, la tension que tenia que soportar me cabeza era tan grande que las ligaduras terminaba rompiendose.
muy buen post, como de costumbre.
Jejejeje, muy bueno, aunque siento decirte que sto, los matemáticos de profesión como yo, ya lo sabíamos. Lo llamamos a veces «El Teorema de la esfera peluda» o «El teorema del remolino», depende de quién lo cuente.
Hay otra paradoja interesante en matemáticas. se trata de una que hace uso del axioma de elección. Y viene a decir, así de repente, que existe una forma de cortar una esfera maciza en unos cuantos trozos (creo que eran 5 o 6) de forma que al pegarlos…obtenemos dos esferas macizas exactamente del mismo tamaño que la original.
judas: La paradoja de Banach-Tarsky, una futura invitada de CPI (shhh…)
Entonces, en el caso de producirse, por ejemplo, una explosión en el interior de la esfera, al apuntar todos los vectores hacia afuera ¿habría infinitos remolinos?
Es decir, dado que mis pelos nacen todos perpendiculares a la superficie de mi cabeza ¿tengo infinitos remolinos?
Respecto a lo del viento en calma, eso será suponiendo que el aire no se pueda comprimir, como si fuera una superficie tridimensional continua ¿no?
Muy CPI, gracias.
PD: Por cierto, una superficie vectorial contínua en un toro ¿no es en sí un gran remolino?
schyz, se trata de establecer un campo vectorial sobre una esfera. Los vectores han de ser tangentes a la esfera. Habrá al menos uno de punta cuando intentes ponerlos todos tangentes a la esfera. Si los pones todos de punta, ya no tienes un campo sobre una esfera, porque no hay ningún vector sobre ella. Y respecto a lo del aire, da igual la compresibilidad. No influye. Habrá al menos dos puntos en calma independiente mente de la densidad, presión y temperatura del aire.
Y un campo vectorial sobre un toro no es un remolino. Es, simplemente, un donut «peinado» 🙂
Hola y enhorabuena por este fantástico blog!
Sólo espero que no seais en realidad uno de mis profesores de matemáticas, que acaban de contar esto en clase hace un par de días.
Salu2
Yo no estoy de acuerdo en el punto 1. El teorema no dice que las singularidades tengan que estar en los polos de la esfera. De hecho mi opinión es que las dos singularidades pueden estar a distancia tan pequeña como queramos. Eso significa que podemos tener «casi» una esfera sin singularidades. O sea, que asumir que la superficie con pelo es mayor de media esfera no garantiza una singularidad. Es más, la más mínima calva en nuestra cabeza garantiza que nos podemos peinar sin remolinos.
Amigo Remo, es la primera vez que visito el blog (espero que no la última) y ya me he ganado tu apéndice 😛
Serlio:
1.- Tú tienes un remolino. Si no lo tuvieras, lo habrías dicho.
2.- La más mínima calva no lo garantiza. Hay gente con la frente muy ancha, por así decirlo, con una calva en la coronilla. Además, se aplica la PD para los calvos.
3.- En cada media esfera hay, al menos un remolino. Prueba a imaginarte una esfera en la que haya dos remolinos muy juntitos. En la parte de atás de esa esfera (en el otro polo o cerca) deberá haber un tercero.
4.- Concluyo que mi apéndice sigue en su sitio. 🙂 Y sí, por favor, ¡vuelve a CPI!. Estoy seguro de que te seguirá gustando.
Que no, hombre, que no, que en media esfera no tiene por qué haber un remolino. A ver, experimento mental: imagina una esfera donde se define el siguiente campo: en cada punto de la esfera ponemos el vector tangente que da la dirección del meridiano, en dirección norte. En este campo las dos singularidades son el polo norte y el polo sur, ¿ok?.
Bien, imaginemos ahora que la esfera no es rígida, sino que puede estirarse, como si fuese un globo no muy hinchado. Mientras no la rompamos, el campo que hemos definido se puede extender a las distintas deformaciones posibles de la esfera sin perder sus propiedades. Por decirlo menos técnicamente, si te haces un chichón en la cabeza, eso no afecta al teorema, que dice lo mismo aunque tu cabeza tenga una pequeña deformidad y no sea una esfera perfecta (de hecho la de nadie lo es).
Imagina que estiramos de los lados de la esfera hasta convertirla en una especie de salchichita de aperitivo (de esas cortitas). Lo hacemos de manera que el campo sea el análogo, es decir, las singularidades siguen arriba y abajo del «eje vertical de la salchicha». Puedes imaginar que cada uno de los extremos de la salchicha es media esfera. Ahí por ejemplo tienes media esfera sin singularidades. Incluso puedes «estrangular» un poco ese extremo con los dedos de manera que quede con forma de algo más de media esfera, y seguirá sin singularidades.
En fin, es difícil sin dibujos, pero te garantizo que se puede, vamos, que me juego el apéndice.
En cuanto a la calva, yo no he dicho que garantice que no tienes remolinos. Lo que garantiza es que puedes peinarte sin remolinos, otra cosa es que quieras hacerlo, claro. Vamos a ver, en un círculo (relleno, como un disco de música sin agujero (el disco, no la música)), puedes poner un campo sin singularidades, supongo que te imaginas cómo (por ejemplo, todos los pelos paralelos). Bien, si imaginas que el disco es muy deformable y estirable, puedes usarlo para cubrir toda la cabeza de alguien salvo un trozo, de manera que sigues teniendo un campo sin singularidades pero ahora con forma de cabeza menos un trozo. Si asumes que el trozo que falta es el que corresponde a la calva, ya está demostrado lo que te decía.
La homotopía, que es la parte de las matemáticas que se encarga de estas cosas, es una gozada y nunca entenderé por qué no se enseña nada de esto en el colegio. No hace falta base para coger los conceptos básicos.
Por último, no le cojas mucho cariño a tu apéndice. Hay gente que no tiene remolinos. Yo no soy Fernández-Tapias, pero podría serlo…
Hola
un OT: ¿ Hay algún problema con bloglines?
porque no me llegan todos los artículos.
Santi.
Santi, les he mandado un par de correos explicándoles el problema. Mañana lo contaré en CPI. Lo que ocurre es que este post lo empecé en octubre (o incluso antes, creo recordar) y lo publiqué en diciembre (voy poco a poco, sí). Bloglines lo habrá puesto en octubre, y cuando abres la página no aparece en diciembre. Si lo buscas en octubre estará, pero, claro, así no mola. De momento no me han dado respuesta. Es un grave problema que tiene Bloglines, al menos con Blogspot. El RSS sí funciona a la perfección.
¿Sabes qué te digo, Serlio? Que es bueno que los sabios vengan a corregirme. Me he empollado de nuevo el teorema, desde lo básico, repasando la demostración, y veo que he mezclado dos teoremas, el de la bola peluda y el del punto fijo que sirve para demostrarlo. Eso me pasa por tirar de memorieta, ais… El teorema del punto fijo garantiza que sobre una esfera una función vectorial continua mapeará un punto en su antípoda . Y el de la boda peluda garantiza la existencia de al menos un punto nulo del campo. Como media esfera es topológicamente equivalente a una esfera menos un punto, tienes razón. es posible una media esfera sin remolinos. Ahora sólo espero que tengas piedad y al menos uses anestesia para quitarme el apéndice 🙂
Voto EdCPI
judas a mí en la carrera me lo nombraron como «el teorema de la bola peluda» :p.
Y aquí tienes a otro matemático de profesión 🙂