CPI (Curioso pero inútil)

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Discusiones de bar™ (I). A qué distancia está el horizonte

Hace poco hice la crítica de un libro, el sabelotodo, en el que el protagonista nos hacía reir cuando en las conversaciones metía datos CPI a todas horas. Pues a mi me pasa un poco de lo mismo, en mi modesta escala. Cuando sale un tema de conversación que me interesa, no puedo evitar soltar algún dato CPI, que a veces provoca comentarios despectivos sobre los inconvenientes de tener un amigo geek, y otras (las menos -snif-) provoca interés y ganas de que me explique con mayor detenimiento. Y por ello nacen las Discusiones de bar™, sección que inauguramos con un clásico. ¿Nunca se ha preguntado, estimado lector, a qué distancia está la delgada línea azul del mar cuando uno lo mira desde la orilla? La tendencia es pensar que está, en términos técnicos, “lejos de cojones”. Sin embargo, una amena charla aderezada con cervezas y unas servilletas de bar nos harán ver que tampoco es para tanto. Si el horizonte, visto desde la orilla del mar, se estuviera quieto, podríamos caminar hasta él en menos de una hora.

Empecemos:


Servilleta nº1: Sujeto experimental mirando hacia el horizonte.
(Nota: El sujeto experimental no está a escala. Tampoco Escandinavia está a escala, que me ha salido como una hoz. Ni Inglaterra, Baleares o Canarias, que no es que no estén a escala, es que no están; cosas de las prisas y las cervezas).

Seré breve. La distancia que nos interesa hallar es d. Como datos conocidos tenemos la altura del sujeto experimental, que es h, (medida en metros) y el radio de la Tierra, que es R (6.374.000 metros para nuestros propósitos). Aprovechando que R, R+h y x forman un triángulo rectángulo, podemos afirmar sin duda alguna que:



Y ya está. d es la distancia al horizonte (ojo, los ángulos en radianes, para los que se pongan a echar unos cálculos). Haciendo algunas cuentas con la calculadora, podemos comprobar que la distancia al horizonte es de 4’51 km para una persona de 1’60, 4’66km para una persona de 1’70, 4’8 km para una persona de 1’80… Pero esta fórmula también sirve para la Estación Espacial Internacional (ISS), que volando a una altura de 350 km tiene el horizonte a casi 2.100 km. Desde la ventanilla de un avión volando a 10 km de altura, el horizonte está a 357 km.

Lo que ocurre es que es muy difícil calcular un arco coseno de cabeza, por lo que para poder saber más o menos la distancia del horizonte podemos simplificar un poco la fórmula. Esta simplificación sólo vale si h es muy pequeñita, o sea, para calcular la distancia a la que tiene el horizonte una persona de pie (ya no vale para la ISS):

Resumiendo,


Esta última fórmula es bastante más sencilla, y para alturas pequeñas clava a la fórmula exacta hasta el quinto decimal.

Nota: Las Discusiones de bar™ son un homenaje a Eduardo Battaner, gran divulgador y autor del libro Física de las noches estrelladas, cuya lectura recomiendo encarecidamente a todo el que quiera saber quiénes somos, de dónde venimos y a dónde vamos.

Nota 2: Mil gracias, Juanjo y Rita, por vuestra imprescindible colaboración logísitica. La sección y yo os debemos mucho.

36 comentarios en “Discusiones de bar™ (I). A qué distancia está el horizonte

  • Sebastián dice:

    Guau…. unas servilletas y unas cervezas te llevan lejos…. xD

  • chel dice:

    genial estudio, y me ha granjeado ciertas sesiones de pedanterismo en el mcdonalds. aunque echo en falta una pequeña, aunque no sea muy extensa explicacion matemática. Por ejemplo, podrias haber contado que la funcion simplificada esta deducida del teorema de pitagoras, despreciando la altura, por ser minima. Sin embargo, aunque recuerdo muy bien el teorema de pitagoras, mi geometria angular esta mas oxidada y no soy capaz de identificar como deduces la funcion del arcoseno.

  • Javi dice:

    Jejejeje. Ahora mismo me voy aponer a calcular mi horizonte y el de una persona de 170 cm. Voy a quedar fenomenal en esas típicas CPIadas de playa…
    Thanks, Remo.

  • Lokomía dice:

    En realidad, para ser “exactos” deberíamos contar nuestra altura HASTA los ojos, ¿no?
    Hay gente que tiene más de 2 dedos de frente y los ojos le quedan muy abajo 😉

  • Remo dice:

    Lokomía, tienes toda la razón. Propongo un apaño cutre: si mido 1’80 y me pongo de puntillas, mis ojos quedarán a 1’80 del suelo. (¿Cuela?) :)

  • Agnes dice:

    I can’t believe it!!! Justo hace unos días en el viaje de vuelta en coche de Las Vegas a San Francisco les hice esa pregunta a mi padre y a mi hermana. Acababa de hacer unos cuantos viajes en avión (Edimburgo-Londres-Barcelona/Barcelona-Munich-San Francisco) y a una, cuando está sumamente aburrida y sólo ve nubes por la ventana, se le ocurren esas preguntas… ¿Hasta dónde ven mis ojos?

    Qué alegría encontrar tu explicación.

  • Remo dice:

    A tus pies, querida Agnes… 😉

  • Raquel dice:

    Para ser exactos, Agnes planteo su pregunta mientras andabamos por el Grand Canyon del Colorado – por otro lado, un gran sitio para plantear este tipo de preguntas. Alli, sin cervezas, ni servilletas, ni bar, me puse a hacer calculos de cabeza y llegue al punto d = raiz cuadrada de (2*R*h) = unos 5 km. Cuando calcule a este resultado, me parecio una distancia muy muy corta y pense que me habia equivocado en algun lado. Me alegra saber que estaba (mas o menos) en lo cierto :)

  • render dice:

    ¿Eso quiere decir que un barco desaparece de nuestra vista en el horizonte cuando se ha alejado 5 Km de la playa?.
    Parece dificil de creer, ¿no?

  • Me encanta la nueva sección, como ya anticipaba el título, pero me voy a permitir darle un tirón de orejas a un físico (TM?) y proponerle que no nos dé la versión simplificada de las cosas y que gaste más servilletas de bar (impagables los escaneados) y nos explique toda la verdad sobre el tema…

    Corrígeme Remo si no existe la refracción de la luz en la atmósfera (al menos para los mortales que no nos ponemos en órbita) debido a gradientes de densidades en el aire que curvan los ayos de la luz. Y este efecto, en condiciones normales, aumenta la distancia del horizonte en un +10%. En condiciones extremas genera efectos más divertidos como los espejismos. Así que la respuesta a la pregunta “¿a qué distancia está el horizonte?” también depende mucho de como está la atmósfera y sus gradientes de temperatura y densidad.

    Para más información, mi fuente es Google “atmosphere horizon distance” y más concretamente

    http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/atmos_refr/horizon.html

    Un saludo, Patxi

    PS: No he puesto comentarios en una semana porque he estado muy liado con un viajecito rápido a Barcelona.

    PS2: Si alguien quiere ver espejismos, en un día soleado en el delta del Ebro, alucinareis!

  • Julio dice:

    Bueno, el 10% de 5km son 500 metros. Tampoco es tanto el error, ¿no?

  • Julio tiene mucha razón, no es mucho error, pero básicamente era para darme el pequeño placer de vacilarle a Remo,… ya que cuando habla de física pocas veces puedo hacer nada más que maravillarme por su conocimiento y abrir las orejas y los ojos.

    Es ese físico frustrado que hay en mí (que vive junto al teleco frustrado que me llama Mr.Becerra), que ha visto un pequeño (10%) resquicio en que colarse y apuntar algo.

    :p

  • Javi Becerra dice:

    El Mr. Becerra estaba pensando lo mismo que el Sr. Avila Kildal… bueno, estaba intentando recordarlo, que las clases de optica de 3° de carrera empiezan a quedar lejos.
    Seguramente que delante de un par de cervezas las hubiese recordado con toda nitidez 😉

    Y lo del teleco frustrado, creia que ya empezabas a tenerlo superado… cuando termines en Google te hare un examencillo y lo mismo te nombro Teleco Honoris Causa…

    Un saludo

  • Felipe dice:

    Que susto, al leerlo pensaba que llevabais una calculadora científica a los bares.
    Nosotros discutiamos de politica, q es un tema del que todos creemos que sabemos y todos creemos que tenemos la razón 😛

  • Remo dice:

    Render:

    Lo que desaparece de tu vista a los 5 km es la parte del casco que está en contacto con el agua. El mástil tarda más en desaparecer por estar a mayor altura.

  • wilcox dice:

    Al hilo de esto último, he buscado el reglamento de abordajes (lo tenía de cuando estudié el PER) y cuadra a la perfección: para los barcos más grandes exigen que la luz de tope esté situada a 12 m de altura y tenga un alcance de 6 millas. Usando la fórmula (en este caso con observador “a ras de ola”) salen 12 km, que son 6.6 millas náuticas.

    Este verano unos amigos me plantearon otra “cuestión de bar”. En este caso se trataba de saber cuánto tiempo tardaba en derretirse (aproximadamente) un cubito de hielo colocado sobre la boca de un botellín de cerveza. Enseguida me lancé a ello, pero mi ego quedó maltrecho al ver que el resultado no cuadraba mucho, y que en realidad necesitaría el Incropera (libro de transferencia de calor, para quien no lo conozca) y con toda probabilidad un ordenador con matlab/mathcad para resolver la EDO… ¡cosas con las que no es razonable deambular por ahí a altas horas de la noche!

    De todas formas, yo tengo otra cuestioncilla de éstas que me intriga, y cuya solución espero colgar en breve en mi blog… de momento sólo diré que va de frigoríficos y congeladores.

    Saludos

  • Remo dice:

    wilcox: no debería ser un problema demasiado dificil de hacer “al estilo físico” (o sea, simplificando hasta que todo sean esferas sin rozamiento), pero me falta el dato de la conductividad térmica del aire. En cuanto lo encuentre creo que podré hacer una aproximación.

  • Remo dice:

    Patxi: En efecto, eso requiere más servilletas. Veo que en la página que me has pasado aparecen los dibujos casi exactos a mi servilleta, excluyendo al sujeto experimental. ¡Mola! Dame tiempo…

  • wilcox dice:

    Remo, según la tabla del Incropera:

    Aire a presión atmosférica y 300 K:

    k= 26.3E-3 W/(m·K)

    Espero ansioso tu estimación… ¡yo intentaré trabajar en la mía!

  • Javi dice:

    Hay mucho Geek por aquí suelto…

  • […] Daniel Plateado, que envió el número ganador dos minutos antes que Yeiviar, ha recibido una estupenda taza CPI, gracias a la cual podrá comprobar si es cierto lo que dicen ciertos teoremas contraintuitivos. También ha recibido un ejemplar dedicado de un libro (fantástico, estupendo, impresionante ) en el que contribuí con un capítulo sobre nanotecnología*. Por si todo lo anterior fuera poco, hemos incluido en el libro un marcapáginas muy novedoso, prodigio de la técnica maracapaginil, consistente en una servilleta de bar, igualita a las que usamos para la serie Discusiones de bar™. La dedicatoria del libro y del marcapáginas se hizo, por supuesto, con el famoso boli de la NASA. Enhorabuena, Daniel, por tu campeonato. Esperamos que la espera haya valido la pena y que sigas participando en futuros concursos CPI. […]

  • Eloy dice:

    Quería avisarte que la fórmula simplificada a los 154 587 metros da un error del 1%, y que si usamos el paso anterior da un error mayor, porque el error es siempre por exceso. Cuando digo el paso anterior me refiero a ((h^2)+2RH)^0.5.

    Además, me parece que también tenés que tener en cuenta la altura al nivel del mar (por si no estás justo en la playa) y también la marea.

  • Brasilo dice:

    Lo primero, saludar, ya que es mi primer mensaje por estos lares.
    Sólo quería darle una vuelta de tuerca más al artículo de esta página.
    Realmente, el horizonte puede estar más lejos o más cerca de la aproximación que ha hecho aquí el amigo CPIero. Todo depende del aire que haya por medio. Este efecto es mucho más conocido en radiocomunicaciones, en las que se dice que el horizonte varía según la hora del día, la temperatura, las nubes, etc, etc.
    Explicándolo muy por encima, la luz que percibimos en nuestros ojos y que viene desde el “horizonte” no viaja en línea recta, sino que se curva más o menos según el índice de refracción que se encuentre (más concretamente, con las diferencias de índice de refracción). Cuánto se curven los rayos de luz viene dado por las leyes de Snell (mmmm, una ele o dos?).
    Así, por ejemplo, este fenómeno es el que se usa en las fibras ópticas para mantener confinados los rayos dentro de ellas y hacer que los rayos que se transmiten por ellas viajen distancias enormes.
    Otro dato a tener en cuenta es la longitud de onda del rayo que viene hacia nosotros (la cual es inversamente proporcional al color de la luz). Este fenómeno se da con mayor fuerza en algunas comunicaciones radioeléctricas, pudiendo hacer que las señales viajen varias veces circundando la tierra.

  • Angel dice:

    Hola, no puedo ver las imagenes, asi que no puedo comprobar la formula,alguien la puede escribir…

    Gracias

  • Davidmh dice:

    Ángel: lo que puedes hacer es entrar en el código fuente y escribir los enlaces.
    Eso he hecho yo, y aquí los tienes:
    * http://photos1.blogger.com/blogger/4577/237/1600/Horizonte_servilleta_12.jpg
    * http://photos1.blogger.com/blogger/4577/237/1600/horizonte_formula_11.jpg
    * http://photos1.blogger.com/blogger/4577/237/1600/horizonte_formula_2.jpg
    * http://photos1.blogger.com/blogger/4577/237/200/horizonte_formula_3.jpg

    Hay más, pero son símplemente redimensiones. Éstas son las más grandes.
    Por cierto, eso me pasa a mí también bastante a menudo. Uso el Mozilla Firefox 1.5.0.7

  • Remo dice:

    Davidmh, muchas gracias por la ayuda. Ya he arreglado las imágenes alojándolas en mi servidor. Ahora deberían verse. El problema es que al importar todso el blog desde blogspot se mantuvieron los enlaces a las imágenes en blogspot, que un día dejó de aceptar enlaces externos img src, por lo que las estoy subiendo al servidor de CPI.

  • petibulahj dice:

    Hola, hace poco que he descubierto CPI, y me parece muy interesante. Reconozco que no se mucho de Física, pero hay una cosa que no entiendo en todo esto del horizonte. Sin menospreciar los cálculos, y puede que la respuesta la haya dado BRASILO, ¿como es posible que se vea África desde mi ventana si son 15 kilómetros lo que nos separan?

    Gracias.

  • danielcs dice:

    petibulahj
    ¿Has calculado la distancia que se ve del horizonte desde la altura a la que está tu ventana? Ese podría ser el error que has cometido.

  • Remo dice:

    Petibulahj: Por dos posibles razones:

    1.- Tu ventana no está a 1,6 metros del suelo, sino algo más.
    2.- La parte de África que ves no es la playa, sino algún monte o loma, y claro, se puede ver desde más lejos.

  • ricardo dice:

    ¿y si la visión de uno se limitara por algún tipo de fotón de luz (long de onda,etc.)?

  • petibulahj dice:

    Hola de nuevo. Desde la playa de Getares (Algeciras) veo Ceuta perfectamente (por citar un punto). Si el viento viene de Poniente la claridad con que se aprecia la ciudad es espectacularmente buena. Y no sólo se ve el Monte Hacho y otros montes marroquíes de gran altitud, sino que se ve la ciudad y se aprecia parte de su urbanismo.
    Cuando el viento viene de Levante puede verse aunque con menos nitidez. Bueno y si el día está nublao, ná de ná.
    La pregunta es, según todo lo anterior, cómo es eso posible si la distancia entre Ceuta y Algeciras es de 14 o 15 kilómetros.

  • Remo dice:

    Porque Ceuta está algo elevada. Recuerda, puedes ver cosas a 5 km con los pies metidos en el agua si eas cosas están a ras de agua. Si están unos metros por encima del agua (como las casas de Ceuta), las podrás ver desde más lejos.

  • Ana dice:

    Remo: me parece que lo de las servilletas de bar tiene que dejar de ser “exclusividad” de CPI. Leyendo Historias de la Ciencia, me encuentro con este post (http://www.historiasdelaciencia.com/?p=275) sobre Stanley Miller, que ya usaba ese método para explicar ciencia: “Recuerdo con emoción tu interés por saber a qué me dedicaba, qué me gustaba estudiar y cómo, sobre una servilleta de papel en un bar del Saler, me dibujabas una alternativa de ruta autotrófica que yo no había imaginado que pudiera existir”.

  • Remo dice:

    Ana: Lo de las servilletas de bar nunca ha sido exclusividad de CPI. De hecho, en el texto de este mismo artículo hablo de Eduardo Battaner, quien en su libro “Física de las noches estrelladas” nos habla de un físico que le enseña astrofísica a la gente del pueblo de Astudillo en servilletas de Bar.

  • deku dice:

    releyendo el post, estoy de acuerdo con petibulahj en que no me convence la teoria

    Es cierto que tiene pinta de ser un muy buen razonamiento, pero por ejemplo desde los alcazares del mar menor (murcia), los dias con buena visibilidad se puede ver perfectamente la manga, que está a unos 10 kilometros desde la playa de los alcazares. Incluso se puede apreciar ligeramente las playas

  • […] T’has preguntat mai a quina distància està l’horitzó? Doncs a casi  […]

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